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Zwei Punkte auf einer Kreisbahn. Wann überholt P1 P2?
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DieNull
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Anmeldungsdatum: 24.03.2009
Beiträge: 198

BeitragVerfasst am: 03 Aug 2010 - 10:21:48    Titel: Zwei Punkte auf einer Kreisbahn. Wann überholt P1 P2?

Hallo, ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter die ich mal irgendwo gelesen habe. ich versuch einfach mal eine rekonstruktion:

Also nehmen wir der einfachheit halber mal einen Kreis mit r=1 cm, also den Einheitskreis.
Nun starten (mit unendlicher Beschleunigung, damit es sofort eine gleichförmige Bewegung wird) zwei Punkte P1 und P2 zur selben Zeit am selbem Ort auf dem Einheitskreis.
Sagen wir, P1 hätte die Geschwindigkeit v1=(2/5)*Pi cm/s, was bedeutet, dass eben dieser P1 die Strecke 2 Pi innerhalb von t1=s/v1= 5s schafft. Das bedeutet bei einem Bogenmaß von eben s=2 Pi (cm) eine volle Umrundung in 5 s.

Nun nehmen wir noch einen zweiten Punkt P2. Dieser soll mit v1/2, also der halben Geschwindigkeit im vgl. zu P1 starten. Also ist v2=(1/5)Pi cm/s. P2 benötigt dementsprechend doppelt so lange um den Kreis einmal zu umrunden, also t2=s/v2 = 10 s bei s = 2Pi cm.

Meine Frage: Wann (t) überholt P1 den P2 und bei welcher Strecke s (in cm) wird dies passieren?
Also man kann dies ja relativ leicht erkennen, nämlich dadurch, dass P1 genau doppelt so schnell ist wie P2. P2 wird also von P1 nach s=4 Pi cm überholt während P2 gerade mal s=2Pi cm absolviert hat.
Aber es soll ja rechnerisch sauber gelöst werden....
Einen brauchbaren Ansatz habe ich nicht.
Ich habe das ganze mal auf eine gerade Strecke übertragen und dafür P1 10 s später starten lassen: also s2=v2*t, s1=v1*(t-5) wobei v1 = 2m/s und v2 = 1 m/s.
Um den Überholpunkt zu ermitteln habe ich dann einfach
s1=s2 gesetzt was zu
2 (m/s) * (t-5) = 1 (m/s) * t --> t = 10 s (wobei die einheit s wegfällt... naja was solls). Bedeutet also nach t= 10 s und s = 10 m überholt P1 P2.. Jetzt probier ich die ganze Zeit schon ob ich dieses Modell auf den Einheitskreis übertragen kann aber es klappt irgendwie nicht

viele Grüße
Deniz
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Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 3122

BeitragVerfasst am: 03 Aug 2010 - 11:13:00    Titel:

"wobei die Einheit s wegfällt"

In der Klammer muss es heißen: (t-5 SEKUNDEN) = ... Smile

Ich versuche mal, Dein Problem zu vereinfachen.

Du möchtest also zwei Punkte um einen Kreis rotieren lassen. Sie haben unterschiedliche Geschwindigkeiten und nun sind die Zeiten gesucht, in der der Schnellere, den Langsameren einholt.

Projeziere beide Bewegungen auf die x oder y Achse.

Du erhälst

P1(t) = r*sin(w1*t - phi1)
P2(t) = r*sin(w2*t-phi2)

P1(t) = P2(t)

-> Du erhälst alle Zeiten für die P1 und P2 den gleichen Ort haben, also der eine vom anderen überholt wird.

r ist dabei der Radius
w1, w2 deren Geschwindigkeiten
phi1 und phi2 die Startpunkte.
DieNull
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Anmeldungsdatum: 24.03.2009
Beiträge: 198

BeitragVerfasst am: 03 Aug 2010 - 12:17:13    Titel:

einfach cool! mit einer kleinen einschränkung:
Deniz hat folgendes geschrieben:


P1(t) = r*sin(w1*t - phi1)
P2(t) = r*sin(w2*t-phi2)

P1(t) = P2(t)

-> Du erhälst alle Zeiten für die P1 und P2 den gleichen Ort haben, also der eine vom anderen überholt wird.

naja, das stimmt leider nicht ganz, denn diese Gleichung gibt mir alle Punkte aus, an denen der Sinuswert der beiden Funktionen gleich ist. So ist z.b. bei w1=2/5 Pi und w2=1/5 Pi der Sinuswert nach 5 sekunden gleich, da p1 eine ganze umrundung zurückgelegt hat und w2 eine halbe. Die beiden Punkte liegen sich also auf der "x" Achse gegenüber.

Aber echt klasse, wäre ich nie drauf gekommen!
Deniz
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Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 3122

BeitragVerfasst am: 03 Aug 2010 - 12:26:11    Titel:

Oh... Embarassed

ich hoffe, Du kannst trotzdem damit etwas anfangen. Smile
DieNull
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Anmeldungsdatum: 24.03.2009
Beiträge: 198

BeitragVerfasst am: 03 Aug 2010 - 12:29:48    Titel:

klaro!
Würde eigentlich der Cosinus die Wahrscheinlichkeit für ein "nicht relevantes" Ergebnis vermindern?
Ich glaube das deshalb, da der Cosinus innerhalb seiner 2 Pi Periode (von 0) nur zweimal die gleichen Werte annimmt. Dagegen nimmt der Sinus in der 2 Pi Periode (von 0) bis zu 3 gleiche Werte an...
Deniz
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Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 3122

BeitragVerfasst am: 03 Aug 2010 - 12:39:04    Titel:

Ob Du jetzt den Sinus nimmst oder den Kosinus...
ich sehe da kein Unterschied.

Du betrachtest die Bewegung halt dann von einem anderen Startzeitpunkt aus.

Ich befass mich bei Gelegenheit nochmal intensiver mit der Aufagbe.
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