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Spezielle Skalenerträge (Homogenität erfüllt?)
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erobique
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Anmeldungsdatum: 08.08.2009
Beiträge: 378

BeitragVerfasst am: 09 Aug 2010 - 19:08:07    Titel: Spezielle Skalenerträge (Homogenität erfüllt?)

Gegeben sei die Produktionsfunktion
F (l,k) = l^(0.5) * k (0.5) - 100
(l für labour, k für Kapital)
Gefragt sind die Skalenerträge, hier macht mir aber dieser konstante Faktor -100 zu schaffen, ich habe aber das Gefühl, dass ich irgendwas falsch mache, da die Funktion im Grunde doch nicht homogen ist?
Ich habe folgendes gerechnet (der Faktor mit dem multipliziert werden soll, sei lambda λ)

F (λl,λk) = (λl)^(0.5) * (λk)^(0.5) - 100
= λ^0.5 * l^0.5 * λ^0.5 * k^0.5 - 100
= λ^1 * l^0.5 * k^0.5 - 100
= λ^1 * F(l,k)
Homogenitätsgrad entspricht der Potenz von λ, also in diesem Fall 1, ergo konstante Skalenerträge. Ist das alles so richtig?

Ein zweiter Fall, bei dem ich auch mit Rechnerei nicht weiterkomme:
F (l,k) = l*k - 2*l = l * (k - 2)

F (λl,λk) = (λl)*(λk) - 2*(lλ)
= λ^2 * l *k - 2*λ*l
= λ^2 * l * (k - 2*λ)
Eine weitere Vereinfachung fällt mir nicht ein, mit der man die Funktion wie beim ersten Fall in der Form λ*F(l,k) darstellen könnte. Ist hierbei die Homogenitätsbedingung nicht erfüllt und daher keine konkrete Aussage über den Homogenitätsgrad zu treffen?

Vielen Dank schonmal im Voraus
murania
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Anmeldungsdatum: 23.10.2005
Beiträge: 2602

BeitragVerfasst am: 09 Aug 2010 - 20:04:35    Titel: Re: Spezielle Skalenerträge (Homogenität erfüllt?)

erobique hat folgendes geschrieben:


F (λl,λk) = (λl)^(0.5) * (λk)^(0.5) - 100
= λ^0.5 * l^0.5 * λ^0.5 * k^0.5 - 100
= λ^1 * l^0.5 * k^0.5 - 100
= λ^1 * F(l,k)


Die letzte Gleichung stimmt nicht.

Zitat:
F (λl,λk) = (λl)*(λk) - 2*(lλ)
= λ^2 * l *k - 2*λ*l
= λ^2 * l * (k - 2*λ)

Auch hier stimmt die letzte Gleichung nicht.
erobique
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Anmeldungsdatum: 08.08.2009
Beiträge: 378

BeitragVerfasst am: 09 Aug 2010 - 20:47:50    Titel:

Beim ersten:
Ja, da sehe ich auch den Fehler wieder. Wenn man diese Vereinfachung vornehmen wollte, müsste der konstante Faktor -100 wiederum durch λ geteilt werden, dann entspricht das ganze aber eben nicht mehr F(l,k). Aber was ist nun die Konsequenz daraus? Dass es nicht geht oder lässt sich das noch irgendwie vereinfachen?

Beim zweiten:
F (l,k)
= l*k - 2*l [normal]
= l * (k - 2) [ausgeklammert]

Die ausgeklammerte Version:
F(λl,λk) = λl * ((λk)-2)
= λ²*l*k - 2λl

Ab hier gehts nicht weiter, oder?
Tut mir Leid, war nicht aufmerksam, derselbe Fehler mit dem konstanten Faktor, hätte man die letzte Zeile ausmultipliziert, wäre was vollkommen anderes rausgekommen. Aber die letzte Umformung war glaube ich ohnehin unnötig? Also selbe Frage wie vorher, geht da noch was an Vereinfachung oder ist besagte Homogenitätsbedingung gar nicht erfüllt und insofern auch nicht direkt etwas über die Skalenerträge auszusagen?

Beim zweiten könnte man vlt. sagen, dass die Skalenerträge für größere l,k,λ steigend sein müssen, da der positive Teil der Gleichung (λ²*l*k) größer ist als der negative (-2λl).
erobique
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Anmeldungsdatum: 08.08.2009
Beiträge: 378

BeitragVerfasst am: 10 Aug 2010 - 01:51:19    Titel:

Ähm hier noch eine:

F (l,k) = (l*k) / (l + 4k)
F(λl, λk) = [(λl)*(λk)] / [(λl)+4*(λk)]

= ( λ²*l*k ) / [λ * (l+4k)] | λ rauskürzen

= ( λ*l*k ) / (l+4k) | λ vorziehen und dann "Standardform herstellen"

= λ * (l*k) / (l+4k)

= λ * F(l,k)
Homogenitätsgrad r=1
Wenigstens hier richtig?
murania
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Anmeldungsdatum: 23.10.2005
Beiträge: 2602

BeitragVerfasst am: 10 Aug 2010 - 17:11:26    Titel:

Die Rechnung in deinem letzten Post ist richtig.

Zu deinen ersten beiden:
F (l,k) = l^(0.5) * k (0.5) - 100 => F (λl,λk) = λ*l^(0.5) * k (0.5) - 100. Weiter gehts nicht. Wenn deine Funktion F einen konstanten Term ungleich 0 hat, dann ist die Homogenitätsbedingung immer verletzt.

F (l,k) = l*k - 2*l = l * (k - 2) => Jetzt ist deine Rechnung richtig. Auch hier ist die Homogenitätsbedingung verletzt.
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