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Ana 2 - ein Integral und ihre Funktion
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Ana 2 - ein Integral und ihre Funktion
 
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Annki
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Anmeldungsdatum: 20.09.2006
Beiträge: 367
Wohnort: Darmstadt

BeitragVerfasst am: 12 Aug 2010 - 21:44:03    Titel: Ana 2 - ein Integral und ihre Funktion

Hallo Ihr!

Heute habe ich Ana 2 geschrieben und würde uuunglaublich gerne die Lösung zu einer Aufgabe wissen:

Es ist das Integral von 0 bis Unendlich über f(x) < als Unendlich

Zeigen Sie dass lim (x -> unendlich) von f(x) = 0 ist ("Nullfolge").


Ich habe so argumentiert:
Eine Summe kann nur dann konvergieren wenn ihre Folge mindestens eine Nullfolge ist (notwendige Bed.). Ein Integral ist nichts anderes als eine Summe, damit muss f(x) eine Nullfolge sein.

Ist das korrekt oder einfach viel zu einfach gedacht?

Viele Grüße,
Annki
axa23
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Anmeldungsdatum: 29.08.2009
Beiträge: 71

BeitragVerfasst am: 12 Aug 2010 - 22:24:26    Titel:

Naja ein Integral ist schon etwas mehr als eine Summe.
Stichwort: Integralvergleichskriterium.
Sonst ist es ok.
Annki
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Anmeldungsdatum: 20.09.2006
Beiträge: 367
Wohnort: Darmstadt

BeitragVerfasst am: 12 Aug 2010 - 22:54:01    Titel:

JA! GENIAL!!!!

In der Klausur hab ich auch geschrieben "...aufgrund des Integralvergleichkriteriums etc. etc. "

JA! JAAA!!!
Jonsy
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Anmeldungsdatum: 11.02.2007
Beiträge: 3098

BeitragVerfasst am: 12 Aug 2010 - 22:58:57    Titel:

f ist nicht monoton, also ist das Integralvergleichskritierium so direkt nicht anwendbar. Die Aussage, so wie sie da steht ,ist uebrigens falsch.
Tut mir Leid.

Jonsy
Binomialkoeffizient
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Anmeldungsdatum: 30.07.2008
Beiträge: 589
Wohnort: Bayern

BeitragVerfasst am: 12 Aug 2010 - 23:09:30    Titel:

Hallo,

kann es sein, dass zusätzliche Voraussetzungen an die Funktion gestellt wurden?
Das Integralvergleichskriterium verlangt ja, dass die Funktion monoton fallend und positiv ist.

Mit dem Integralkriterium erhält man die Konvergenz der zugehörigen Reihe.

Damit ist die Folge f(k), über die summiert wird, eine Nullfolge.

Insbesondere ist auch jede Teilfolge f(k_n) eine Nulfolge.

Jetzt muss man noch abschätzen und zeigen, dass die Funktion gegen 0 konvergiert, hier braucht man die Monotonie, denn man muss zeigen:

lim f(a_k) = 0 für alle Folgen a_k, die gegen unendlich gehen.

Man kann dann eine Teilfolge k_n der Folge k wählen, sodass für alle natürlichen n gilt: a_n < k_n

Wegen der Monotonie folgt dann: 0 < f(a_n) < f(k_n)

Jetzt ist f(k_n) eine konvergente obere Schranke von f(a_n) und man ist fertig.

lg, BK
Annki
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Anmeldungsdatum: 20.09.2006
Beiträge: 367
Wohnort: Darmstadt

BeitragVerfasst am: 12 Aug 2010 - 23:21:40    Titel:

mmhmmhh... leider kann ich mich an den ganz genauen Laut der Aufgabe nicht erinnern. Die Aussage muss aber richtig sein, da wir sie zeigen sollten - es sei denn das war eine ganz miese Falle, aber das glaube ich nicht.

Ich meine zu wissen, dass sie als stetig diffbar angegeben war. Angenommen es war nicht angegeben, dass sie monoton war:
Wie hätte man es dann beweisen können -.... gar nicht, oder? Also muss wohl monoton dagestanden haben.

Ich frag morgen gleich mal meine Kommilitonen!!
Jonsy
Senior Member
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Anmeldungsdatum: 11.02.2007
Beiträge: 3098

BeitragVerfasst am: 12 Aug 2010 - 23:29:27    Titel:

Stetige Diff.barkeit reicht nicht. Globale Lipschitzstetigkeit koennte genuegen, glaub ich... Grad keine Lust, einen Beweisversuch zu machen, da ich zu muede bin.

Jonsy
axa23
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Anmeldungsdatum: 29.08.2009
Beiträge: 71

BeitragVerfasst am: 13 Aug 2010 - 01:33:13    Titel:

Ich habe das "monoton" implizit mitgelesen. Very Happy
Aber ohne monotonie ist die Aussage mumpitz.
Es gibt ein extrem einfaches Gegenbeispiel.
Globale Lipschitz-Stetigkeit reicht auch nicht.
Binomialkoeffizient
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Anmeldungsdatum: 30.07.2008
Beiträge: 589
Wohnort: Bayern

BeitragVerfasst am: 13 Aug 2010 - 10:00:57    Titel:

Hi,

als Gegenbeispiel kann man z.B. xcos(x^4) nehmen.

lg, BK

PS: Sag uns bitte, wie die Aufgabe nun lautete. Very Happy
Bröckchen
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Anmeldungsdatum: 10.11.2008
Beiträge: 40
Wohnort: Darmstadt

BeitragVerfasst am: 13 Aug 2010 - 13:46:18    Titel:

Es war noch gegeben, das die Funktion gleichmäßig stetig ist.
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