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Anwedung der Korrespondenztabelle bei Laplace-Transformation
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Corason_mb
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Anmeldungsdatum: 20.08.2010
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 20 Aug 2010 - 12:36:01    Titel: Anwedung der Korrespondenztabelle bei Laplace-Transformation

Hallo zusammen,

Ich habe ein Verständnisproblem bei der Anwedung von den Korrespondenztabelle bei Laplace-Transformationen.
Die einzelnen Ausdrücke in der Tabelle nachzuschlagen stellt ansich kein problem da, allerdings verstehe ich noch nicht wie diese sich dann kombinieren lassen.

Angenommen ich suche die Laplace Transformation für den Ausdruck
f(x)=4x³+x²
Schlage ich einfach für beide Summanden die jeweilige Transformation nach und addiere die beiden => Transformation fertig.

Nun meine Frage: Wie werden Produnkte verknüpft? z.b:



Eine einfache Multiplikation ist es offensichtlich nicht, würde ja auch keinen sinn machen da das zu bearbeitende Integral aus 3 Elementen die Multipliziert werden bestehen würde.
Deniz
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Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 3122

BeitragVerfasst am: 20 Aug 2010 - 13:09:55    Titel:

Du hast recht.

Eine Regel für La Place Transformierte ist die Linearität.

Also

L(af+bg) = aL(f) + bL(g)

wobei f und g Funktionen und a, b Konstanten darstellen.

Bei L(f*g) brauchst Du die s. g. Faltungsregel im Bildbereich.
Corason_mb
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Anmeldungsdatum: 20.08.2010
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 20 Aug 2010 - 22:15:51    Titel:

Die Linearität ist mir durchaus bekannt, allerdings noch immer nicht die regel für Faltintegrale. Das Problem ist halt das im Papula in dem ich zur Zeit lese tum Thema Faltintegral nur Beispiele für die Rückführung von Bildfunktionen in die Ausgangsfunktion sind. Was ich allerdings suche ist eine Möglichkeit Produnkte von ausgangsfunktionen zu Laplacetransformieren.

Die Regel für das Faltprodukt besagt:

f1(f)*f2(t)=Integral 0 bis t von f1(u)*f2(t-u)du

Allerdings wird dort vorausgesetzt das das * zu beginn zwischen f1 und f2 das faltprodukt darstellt.

Ist nun in meinem Fall, also gesucht L(sin(2t)*cos(3t)) das normale produkt dieser beiden Funktionen als Faltprodukt zu verstehen?

Wenn das jemand nachvollziehbar erklären bzw vorrechnen könnte wäre mir sehr geholfen.
Deniz
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Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 3122

BeitragVerfasst am: 20 Aug 2010 - 23:32:18    Titel:

Hi,

im Papula finde ich das jetzt auch nicht.

Aber schau mal hier.

http://de.wikipedia.org/wiki/Laplace-Transformation#Korrespondenztabellen

Leider ist es mir jetzt zu spät für dieses Integral.
Vielleicht schau ich es mir morgen noch mal an.
Corason_mb
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Anmeldungsdatum: 20.08.2010
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 21 Aug 2010 - 00:13:08    Titel:

Erstmal danke für deine Mühe.

Die Tabelle auf wikipedia hatte ich auch schon gesehen und für die erstellung der Bildfunktionen benutzt, soweit auch alles verständlich.

Was mich halt momentan wurmt ist das ich auf einem Übungszettel den ich momentan beabeite die folgeübungen mit Faltintegralen die aus Bildfunktionen wieder Ursprungsfunktionen problemlos lösen kann nur für die ersten einfach Aufgaben die verlangen das ich einfache Funktionen Laplace-Transformieren soll nicht weiterkomme weil ich nirgens finde wie Produkte der Ursprungsfunktionen gehandhabt werden.

Das Vorgehen ist verutlich so offensichtlich das es einer erklärung in der theorie und Praxis nicht wert ist, ich lauf jedoch mit nem Brett vorm Kopf rum.

Hier sind die Funktionen die Laplace-Transformiert werden sollen:

c) sin t · cos t
d) sin 2t + 2t cos 2t
e) e^3 *sin 4t
f) t 2 e^(−2t)

Wie gesagt handelt es sich bei allen Funktionen um Produnkte.
xeraniad
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Anmeldungsdatum: 29.01.2008
Beiträge: 1890
Wohnort: Atlantis

BeitragVerfasst am: 01 Sep 2010 - 16:41:01    Titel: Transformation von Produkten.

° Hier folgen einige Sätze bzw. Korrespondenzen.
einige Sätze:
(1a) -t ·f(t) ⊶ F'(s) [1. Ableitung im Bildbereich]
(1b) t²·f(t) ⊶ F"(s) [2. Ableitung im Bildbereich]
(2) exp(-β·t)·f(t) ⊶ F(s+β) [Dämpfungssatz]
einige Basis-Korrespondenzen:
(3) exp(-β·t) ⊶ 1÷(s+β)
(4a) cos(ω·t) ⊶ s÷(s²+ω²)
(4b) sin(ω·t) ⊶ ω÷(s²+ω²)
(5a) 1 ⊶ 1÷s
(5b) t ⊶ 1÷s²
(5c) t² ⊶ 2÷s³

° Üblicherweise wird für die Transformation von Produkten nicht "Faltung im Bildbereich" angewendet, sondern die Produkte werden umgeformt (z. B. mit Hilfe von Additionstheoremen) und /oder es werden Sätze (Dämpfungssatz, Ableitung im Bildbereich, ...) angewendet.
c) sin(ω·t)·cos(ω·t)
Hier kann die trig. Identität sin(α)·cos(α) = ½·sin(2·α) verwendet werden.
Mit der Korrespondenz (4b) folgt die neue Korrespondenz sin(ω·t)·cos(ω·t) ⊶ ω÷[s²+4·ω²].
d) α·sin(ω·t) + β·t·cos(ω·t)
(1a),(4a) → t·cos(ω·t) ⊶ -d÷ds {s÷(s²+ω²)}
Differentiation → t·cos(ω·t) ⊶ (s²-ω²)÷(s²+ω²)²
(4b) → α·sin(ω·t) + β·t·cos(ω·t) ⊶ α·ω÷(s²+ω²) + β·(s²-ω²)÷(s²+ω²)²
e) exp(α·t)·sin(ω·t)
(4b),(2) → exp(α·t)·sin(ω·t) ⊶ ω÷([s-α]²+ω²)
f) t²·exp(-β·t)
(5c),(2) → t²·exp(-β·t) ⊶ 2÷(s+β
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