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die liebe analysis... :(
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amy
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Anmeldungsdatum: 27.10.2004
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BeitragVerfasst am: 07 Jun 2005 - 12:20:19    Titel: die liebe analysis... :(

hi leute!

wo um himmels willen liegt denn bitte der unterschied zwischen cauchy- und normal konvergierenden folgen???? alle definitionen, die mir googl zu cauchy-folgen ausgeworfen hat, decken sich mit der von kovergenz.
leider verstehe ich viele der definitionen auch nicht, da mit dem begriff "metrischer raum" gearbeitet und argumentiert wird, den ich nicht kenne und den wir ina vorlesung auch nicht hatten...
also hilfe bitte weil cauchy-folgen wohl ziemlich wichtig für meine mathematische zukunft zu sein scheinen... Laughing
amy
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Anmeldungsdatum: 27.10.2004
Beiträge: 496
Wohnort: Hamburg

BeitragVerfasst am: 07 Jun 2005 - 13:16:37    Titel:

gut und weiterhin ist mir schleierhaft, was dieses komische n unten null mit konvergenz zu tun hat. wo im beweis spielt das eine rolle und wie wähle ich das???

komm irgendwie gar nicht klar... Crying or Very sad
amy
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Anmeldungsdatum: 27.10.2004
Beiträge: 496
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BeitragVerfasst am: 07 Jun 2005 - 20:43:32    Titel:

also hab grad ne schöne definition gefunden:

eine folge ist chauchy, wenn zu jedem epsilon>0 ein N=N(epsilon) existiert, so dass [betrag]a unten n - a unten m[/betrag]<epsilon für alle n,m>=N

was soll dabei N sein? und was bedeutet N von epsilon?
hmmmm...
*ratlosbin*
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algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
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BeitragVerfasst am: 07 Jun 2005 - 20:54:21    Titel:

Eine Cauchy-Folge ist eine Folge, bei der für jedes e > 0 der Abstand (Achtung! Metrischer Raum) zwischen je zwei Gliedern ab einem bestimmten Index (abhängig von e) kleiner e ist. Jede konvergente Folge ist eine Cauchy-Folge. Begründung: Wähle e > 0. Zu diesem e > 0 gibt es aufgrund der Konvergenz ein N mit d(a_n,a) < e/2 für alle n > N. Dann gilt für n,m >= N. d(a_m,a_n) <= d(a_m,a)+d(a_n,a) < e/2 + e/2 = e. Die Umkehrung (jede Cauchy-Folge konvergiert) gilt allgemein in vollständigen metrischen Räumen. Diese werden gerade dadurch eingeführt. Ein Beispiel für eine Cauchy-Folge, die nicht konvergiert wäre die Newton-Folge (des Newtonverfahrens) gegen sqrt(2) in Q. Alle nicht konvergenten Folgen sind nach obigen Überlegungen keine Cauchy-Folgen.
amy
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Anmeldungsdatum: 27.10.2004
Beiträge: 496
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BeitragVerfasst am: 07 Jun 2005 - 21:02:12    Titel:

hä???? versteh nur bahnhof. was ist N? versteh ich nicht.
vielleicht kannste mir mein beispiel vorrechnen??

zeige, dass es sich bei a_n=[(-1)^n]/n^(1/2) um eine cauchyfolge handelt.
wollte zeigen, dass sie konvergent ist, aber (-1)^n ist doch divergent...
hmmm... Sad
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 07 Jun 2005 - 21:16:28    Titel:

Das ist böse, wenn Du im obigen gar kein Licht siehst. Stell doch mal konkrete Fragen. Vielleicht geht es dann besser. Ich glaube, daß Du aus folgendem Beweis nicht viel für Dich über Cauchy-Folgen entnehmen kannst.

a_n=[(-1)^n]/n^(1/2)

Sei e > 0. Setze N = 1/e^2. Sei n > N. Dann gilt |(-1)^n/n^(1/2)-0| = 1/sqrt(n) < e, da 1/sqrt(n) < e <=> n > 1/e^2 = N. Somit konvergiert die gegebene Folge gegen 0 und somit ist sie nach Beweis oben eine Cauchy-Folge.
amy
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Anmeldungsdatum: 27.10.2004
Beiträge: 496
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BeitragVerfasst am: 07 Jun 2005 - 21:22:07    Titel:

na gar kein licht ist übertrieben.
mit konvergenz und so komm ich ganz gut klar.
ich steig irgendwei nicht dahinter, wie man sich das epsilon wählt und wie und wofür das n_0 bzw. N. ist das überhaupt dasselbe: n_0 und N? und warum N(epsilon)? ist N ne funktion? dachte, N wäre aus N!?!
amy
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Anmeldungsdatum: 27.10.2004
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BeitragVerfasst am: 07 Jun 2005 - 21:23:07    Titel:

und was bedeutet in deinem beweis "sqrt"?
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 07 Jun 2005 - 21:32:40    Titel:

Deine Fragen hören sich recht wirr an, muß ich zugeben. Eine (reelle) Folge ist eine Funktion a : |N -> |R. Du schreibst für die Glieder a_n mit der Bedeutung a(n). Wenn eine Folge konvergiert, so kann man sich das so vorstellen, daß ihr "Schwanz" in jeden auch noch so kleinen "Schlauch" um den Grenzwert passt. Konvergenz ist also so definiert, daß

a) für jedes e > 0 (das ist die halbe Schlauch-Breite)
b) existiert ein N (natürliche Zahl, ab der der "Schwanz" beginnt)
c) sodaß für alle n > N (das sind alle "Schwanz"-Elemente)
d) gilt |a_n - a| < e (der Abstand von a_n zu a ist kleiner e. Also a_n ist im Schlauch)

Du mußt Dir einen Beweis der Konvergenz (und auch allgemein jeder quantifizierten Aussage) wie ein Spiel vorstellen. Jedes mal, wenn da ein "für alle" da steht, so darfst Du beliebig wählen. Jedes mal, wenn da ein "existiert" steht, so muß Du was angeben (bzw. dein Gegner darf wählen). So beweist man z.B. die Konvergenz der "Nullfolge" 1/n. Vergleiche mit den Punkten oben.

a) Wähle ein beliebiges e > 0.
b) Sei N = 1/e
c) Wähle ein n > N
d) |1/n - 0| = 1/n < e, da 1/n < e <=> n > 1/e = N.

Zur Wahl der Schranken. Du mußt Dir vorab schon überlegen, wie die Bedingung am Ende aussehen wird. Im Falle oben habe ich mir auf's Blatt geschrieben:

|1/n - 0| < e => 1/n < e => n > 1/e.

Und da ist schon deine Wahl von N da. Genau so geht es im obigen Fall^^2.

P.S. sqrt (square root) ist Quadratwurzel. Das deutet auf eine sehr alarmierende Tatsache, daß Du wohl selten Computeralgebra-Systeme benutzt.
amy
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Anmeldungsdatum: 27.10.2004
Beiträge: 496
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BeitragVerfasst am: 07 Jun 2005 - 21:41:53    Titel:

wieso alarmierend?
wozu sollte ich computer-algebra benutzen?
habe genug mit algebra I und analysis I zu tun jetzt. dazu ist mathe nur mein nebenfach. und im ersten semester darf man ja wohl noch nicht alles so perfekt verstehen, oder? sonst bräuchte ich das studium nicht.
oder konntest du von anfang an alles perfekt ohne probleme?
ich will das ja verstehen. und bis jetzt habe ich auch alles ganz gut hinbekommen letztendlich.
also sei bitte nicht böse, wenn ich ein wenig schwer von begriff bin... Embarassed
stell dir einfach vor, du hörst das zum ersten mal in deinem leben. vielleicht verstehst du dann meine verständnisprobleme Wink
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