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Eulersche Phi-Funktion
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arwo
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Anmeldungsdatum: 11.05.2008
Beiträge: 22

BeitragVerfasst am: 30 Aug 2010 - 16:35:29    Titel: Eulersche Phi-Funktion

Die Eulersche Phifunktion hat ja die tolle Eigenschaft [; n=\sum_{d \mid n} \varphi (n);]. Ich gucke mir gerade einen Beweis an und stehe mal wieder auf dem berühmten Schlauch. Jedes Element m mit ggt(m,n)=d wird in eine Gruppe C_d gesteckt. aus ggt(m,n) folgt: ggt(m/d,n/d) = 1,klar.
Wenn man jetzt alle Elemente für C_d für alle d zusammenaddiert ergint sich : [; \sum_{d \mid n} \varphi (n/ d);]. Soweit,so klar. Jetzt soll gelten:
[; \sum_{d \mid n} \varphi (n/ d) = \sum_{d \mid n} \varphi (n) ;]. Wieso? Ich hab´s mir mal mit´nem Beispiel aufgeschrieben, es sind die selben Mengen, nur andersrum.

Vielen Dank
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6395
Wohnort: (hier nicht mehr aktiv)

BeitragVerfasst am: 30 Aug 2010 - 16:57:29    Titel:

Was ist das für eine Gleichung? Die trifft auf ein paar Zahlen zu, aber das ist auch alles...
arwo
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Anmeldungsdatum: 11.05.2008
Beiträge: 22

BeitragVerfasst am: 30 Aug 2010 - 17:10:40    Titel:

Mein Fehler, es muss natürlich [; n=\sum_{d \mid n}\varphi (d);] heißen.
Calculus
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Anmeldungsdatum: 02.01.2008
Beiträge: 5077
Wohnort: Bochum

BeitragVerfasst am: 30 Aug 2010 - 18:38:19    Titel:

Nun, für jede Zahl d mit d|n gibt es genau eine Zahl d', für welche gilt: n/d = d'. Offensichtlich gilt n/d' = d und damit d'|n. Damit hast Du auf beiden seiten die gleiche Summe, die sich nur durch die Reihenfolge der Summanden unterscheidet.
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