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Integralfunktion
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Quanty
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Anmeldungsdatum: 26.02.2008
Beiträge: 980

BeitragVerfasst am: 31 Aug 2010 - 13:44:15    Titel: Integralfunktion

Hi ihr,

ich habe eine "grundliegende" Frage bezüglich des Integrals,die ich mir selbst beantworten will. Ob das dann richtig ist will ich euch fragen Wink
Bis dato habe ich es mehr oder wenig nur angewendet.
Die Herleitung mit den Säulchen, dem Intervall in n-Teile zerlegen und dann die Summe der Säulchen zu bilden ist mir klar.
Wie die verschiedenen Regeln zustande kommen, wurde mir mittels der Verbundenheit zur Ableitung erklärt. Dass man diese Regeln nicht unmittelbar ohne Ableitung herleiten kann, habe ich akzeptiert.
Nun habe ich mich immer gefragt, was die Integralfunktion anzeigt und mich bei e^x=f(x) gewundert, da eben die Fläche unter dem Graphen ja nicht dem Funktionswert entspricht und habe bemerkt, dass es immer bis zu x=0 gezählt wird. Also die allgemeine Integralfunktion gibt immer F(x)-F(0) an.

Nun zu meinem Problem:
Warum ausgerechnet zur Stelle x=0?

erklärt habe ich es mir, weil auch die Ableitung bis zu einer bestimmten Stelle x , gerechnet von x=0 ab , bestimmt wird, also muss auch das Integral von x=0 bis zur Stelle x gerechnet sein.
Dann ist es auch logisch, dass z.b. die integralfkt von x² im negativen x-Bereich >0 ist, da diese Zeit negativ ist und die Fläche als Differenz zu dem Funktionswert des Integrals negativ ist.

Ist das so richtig? Kann ich sagen : Integral zeigt die Fläche im Bezug auf 0 an, deshalb kann man auch die Integr.fkt nach oben oder unten verschieben wie man will?

edit:
Wenn es zur Stelle x=0 ist, warum ist dann e^1=2,7..., die Fläche zu null wäre aber um e^0=1 kleiner?


Grüßle
Martin
Glumb
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Anmeldungsdatum: 03.04.2006
Beiträge: 1783
Wohnort: Bremen

BeitragVerfasst am: 31 Aug 2010 - 14:29:17    Titel:

"Also die allgemeine Integralfunktion gibt immer F(x)-F(0) an."

Seit wann? Allgemein ist die untere Grenze beliebig und damit gibt es meistens nicht nur eine Integralfunktion.
Quanty
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Anmeldungsdatum: 26.02.2008
Beiträge: 980

BeitragVerfasst am: 31 Aug 2010 - 14:39:15    Titel:

Mhm...
Dann stell ich mal meine Frage anders:
Ich habe eine beliebige funktion f(x) in m/s und die dazugehörige Integralfunktion F(x) in m.

Der Wert F(3) z.B. was gibt der an?
Die Strecke s zum Zeitpunkt 3?
Man braucht ja einen "unteren" Wert als "Grenze".

Wenn jetzt f(x)=x² wäre und F(x)=(1/3)x³
Dann würde F(3)=9, was ja die Strecke vom Zeitpunkt x=0 bis zum Zeitpunkt x=3 angeben würde.

Wenn ich jetzt F(x)=(1/3)x³+c sagen würde, müsste ich ja ebenfalls die untere Grenze 0 setzen. Wenn ich jetzt andere Grenzen setze wie z.b. x=-1 bis x=2 würde ich ja indirekt beide einzeln berechnen, im Bezug auf x=0, und dann addieren?


Also eigentlich ist meine Frage:
Die Integralfunktion I(x)=F(x)+c der Funktion f(x) gibt was an.
Was ist F(a) in Worten, welche Strecke wurde zurückgelegt an der Stelle a und von welchem Zeitpunkt bis zu welchem Zeitpunkt?

Würde mich freuen Smile

Grüßle
Martin
BarneyG.
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Anmeldungsdatum: 16.11.2008
Beiträge: 668

BeitragVerfasst am: 31 Aug 2010 - 15:08:07    Titel:

Zitat:
Ich habe eine beliebige funktion f(x) in m/s und die dazugehörige Integralfunktion F(x) in m.


Es gibt nicht EINE Integralfunktion - Wenn die Funktion f(x) im Intervall I integrierbar ist, dann kann man zu JEDEM a aus I als untere Grenze eine Integralfunktion bilden. Es gibt also eine SCHAR von Integralfunktionen.

In deinem Fall soll nun f(t) die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t darstellen. Wenn f(t) stetig ist, dann sind die Integralfunktionen differenzierbar und haben alle die gemeinsame Ableitung f(t). Die Integralfunktionen unterscheiden sich deshalb nur durch eine Konstante. Die Integralfunktion F(t) mit der unteren Integrationsgrenze a gibt dann die seit dem Zeitpunkt t0=a zurückgelegte Strecke an.

Wenn zum Zeitpunkt t0=0 die zurückgelegte Strecke F(0) = 0 sein soll, dann muss demnach als untere Grenze der Integralfunktion a=0 gewählt werden.

Jetzt alles klar?

Grüße
Quanty
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Anmeldungsdatum: 26.02.2008
Beiträge: 980

BeitragVerfasst am: 31 Aug 2010 - 15:36:14    Titel:

Danke für die Antwort Smile
Leider bin ich immernoch verwirrt...
Wenn ich f(x) habe ist ja die einzige Integralfunkntion I(x)=F(x)+c, weil die Ableitung von F(x)+c ja f(x) ist.
Das c ist ja beliebig und kann weggelassen werden.
Ich will jetzt wissen was F(x), diese Funktion alleine, angibt.

Wenn ich untere Grenzen habe, wie z.b. Das a, dann mach ich ja nix anderes, als dass ich F(x)-F(a) mache.
Aber dann muss ja F(x) alleine die untere Grenze 0 haben ôO

Sry, dass ich grad etwas nerve Wink

Grüßle
Martin
Glumb
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Anmeldungsdatum: 03.04.2006
Beiträge: 1783
Wohnort: Bremen

BeitragVerfasst am: 31 Aug 2010 - 15:43:52    Titel:

Das F ist eine beliebige Stammfunktion und auch hier gibt es nicht nur eine. I(x) := F(x) - F(a) zur Definition einer Integralfunktion ist aber dennoch eindeutig, weil sich Stammfunktionen lediglich in konstanten Summanden unterscheiden. Durch unterschiedliche Wahl von a gibt es aber natürlich im Allgemeinen auch unterschiedliche Integralfunktionen.

Stellt die variable Größe aber die Zeit dar, so ist es meistens üblich von a = 0 auszugehen, da man bspw. eine zurückgelegte Strecke seit Beginn der Zeit durch die Integralfunktion ausdrücken möchte.
Quanty
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Anmeldungsdatum: 26.02.2008
Beiträge: 980

BeitragVerfasst am: 31 Aug 2010 - 16:06:59    Titel:

Danke wieder Smile
Habs mir jetzt nochmal im Buch durchgelesen und auch deine Antwort.
Habe grade versucht es zusammenzufassen aber stoße wieder auf Probleme...
Ich versuch es nochmal durchzulesen und zu verstehen, danach frag ich wieder Smile


Grüßle
Martin

edit:
So, hat glaub grad "klick" gemacht Smile

Jede Stammfunktion einer Funktion f wird durch die Konstante c bestimmt, die die untere Grenze der Stammfunktion angibt.
Weil die wegfällt, wenn man Ableitet bekommt man trotzdem die gesammte Funktion f, wenn man F'(x) macht?
Ist das soweit richtig (bitte sag ja)

Grüßle
BarneyG.
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Anmeldungsdatum: 16.11.2008
Beiträge: 668

BeitragVerfasst am: 31 Aug 2010 - 16:45:16    Titel:

Zitat:
Jede Stammfunktion einer Funktion f wird durch die Konstante c bestimmt, die die untere Grenze der Stammfunktion angibt.


Na ja, da meinst du schon das Richtige. Aber das mit der unteren Grenze stimmt eben leider nicht!

Noch einmal: es gibt nicht EINE Integralfunktion und es gibt nicht EINE Stammfunktion. Es gibt jeweils eine SCHAR von Funktionen! Wenn wir also von F(x) reden, dann meinen wir eine bestimmte, auszuwählende Stammfunktion!

Es gilt allgemein für stetiges f(x):

(1) Jede Integralfunktion ist Stammfunktion

(2) Alle Integralfunktionen und Stammfunktionen unterscheiden sich höchstens durch einen konstanten Summanden, d.h. es gilt insbesondere

I(x) = F(x) + c (mit geeignetem c)

Es gilt aber NICHT:

Jede Stammfunktion ist Integralfunktion.

Mit anderen Worten, es gibt Stammfunktionen, die man eben nicht durch geeignete Wahl einer unteren Integrationsgrenze erzeugen kann!

Aber wenn du die untere Grenze der Integralfunktion = 0 setzt, dann erhältst du eine spezielle Stammfunktion F(x). In deinem Fall hat diese Funktion die folgenden Eigenschaften:

F(x) = der nach x Sekunden zurückgelegte Weg.

Insbesondere ist F(0) = 0, d.h. in 0 Sekunden wird die Strecke 0 zurückgelegt.

Grüße
Quanty
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Anmeldungsdatum: 26.02.2008
Beiträge: 980

BeitragVerfasst am: 31 Aug 2010 - 17:23:01    Titel:

Thx Smile
Ich frag mal weiter:
Was ist F(x) genau, wenn kein c dranhängt?
Du meintest es ist zur unteren Grenze 0, aber bei e^x oder irgendeiner Exponentialfunktion ist es ja nicht so.
Bei e^x als F(x) ist ja die untere Grenze "minus unendlich"?

(I(x)=meine Gesuchte Funktion, und da I(x)=F(x)+c leg ich die grenze fest indem ich sag I_a(a)=0 um das c damit hinzubekommen, aber wie gesagt: woher bekomme ich die "Standardintegrationsfunktion" F(x) die ja mit der Stammfunktion zusammenfällt?
BarneyG.
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Anmeldungsdatum: 16.11.2008
Beiträge: 668

BeitragVerfasst am: 31 Aug 2010 - 19:03:51    Titel:

Zitat:
Was ist F(x) genau, wenn kein c dranhängt?


Ach, menno ... jetzt lies doch einfach mal meine Beiträge.

F(x) ist eine der Funktionen der Funktionenschar. Und wenn "kein c dranhängt" dann ist eben c = 0.

Zitat:
Bei e^x als F(x) ist ja die untere Grenze "minus unendlich"?


Bei der Funktion f(x) = e^x kannst du wie bei allen anderen Funktionen für die Integralfunktionen die untere Grenze frei wählen. Sogar "-unendlich" ist zugelassen, dann hat man halt ein uneigentliches Integral.

Aber genau hier haben wir ein Beispiel dafür, dass es Stammfunktionen gibt, die NICHT durch eine Integralfunktion dargestellt werden können. Denn die STAMM-Funktion e^x + 1 kann man eben NICHT durch eine INTEGRAL-Funktion über e^x darstellen. Das geht nur für Stammfunktionen e^x + c mit c <= 0.

Grüße
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