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komische Geometrie aufgabe
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archi
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Anmeldungsdatum: 05.06.2005
Beiträge: 148

BeitragVerfasst am: 07 Jun 2005 - 17:39:50    Titel: komische Geometrie aufgabe

hey, ich mal wieder =o, aber diesmal mit Geometrie

also habe hier eine art ebenen kaktus.der kaktus entwickelt sich in generationen.

die erste generation ist ein Quadrat mit der seitenlänge von 1cm. die unterseite fehlt, damit sich der kaktus an den boden anpassen kann.

in der zweiten generation bildet der kaktus an allen seiten keimlinge. diese sind auch quadrat und sitzen auf dem mittleren drittel der seiten des quadrates der ersten generation ( also ist die seiten länge der neuen Quadrat 1/3 cm ? )

in der dritten generation wird der prozess entsprechend fortgesetzt, also bilden sich an den 3 ( in generation 2 gebildeten quadraten) wieder rum an jeder seite neue triebe,quadrate, mit der länge 1/3 1/3 (also 1/6 (?) )

die frage dazu ist nun: welchen UMFANG hat der Kaktus in der n-ten generation und wie verhalten sich umfang und flächeninhalt, wenn n gegen unendlich geht????
Marcel_H
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Anmeldungsdatum: 01.06.2005
Beiträge: 273

BeitragVerfasst am: 07 Jun 2005 - 21:54:12    Titel:

Leider bin ich in Mathe (noch!) zu schlecht um die Aufgabe zu beantworten, aber ich habe dann doch etwas festgestellt, dass dir eventuell helfen könnte:

In G1 hat der Kaktus die Fläche 1cm².

In G2 kommen 4 Quadrate mit der Fläche 1/9cm² hinzu, da die Seitenlänge ja 1/3cm ist.

Ab G3 wird die Zunahme regelmäßig. Es kommen pro Quadrat drei Quadrate von je 1/9 der Fläche des Quadrates an dass sie andocken hinzu.

Quadratmenge:
G1 = 1
G2 = 4 |*3
G3 = 12 |*3
G4 = 36 |*3
G5 = 108 |*3
G6 = 316 |*3
G7 = 948 |*3

Die Gesamtfläche wird zwar mit jeder neuen Generation größer, bleibt aber endlich. Zum Urquadrat (F1) zählt man die Fläche der vier neuen Quadrate, die 1/3 der Seitenlänge X 1/3 der Seitenlänge des Urquadrates beträgt, und erhält so die Fläche in der zweiten Generation (F2).
In der dritten Generation (F3) kommen zwölf Quadrate hinzu, deren Seitenlänge 1/9 des Urquadrates ist.

F1 = 1
F2 = 1 + 4*[(1/3)*(1/3)]
F3 = F2 + 12*[(1/9)*(1/9)]
...

Allgemein gesagt (umständlich, und wegen der mangelnden Formatierungsmöglichkeit im Forum hässluch) sähe das wohl so aus:

Fx = Fx-1 + Qz(x) * [(1 / Qf(x-1) * 3) * (1 / Qf(x-1) * 3)]

Fx = xte Generation
Fx-1 = Generation vor Fx
Qz(x) = Anzahl der neuen Quadtrate in der Generation x
Qf(x) = Fläche eines Quadrates der Generation x

Während die Menge der Quadrate also gegen Unendlich geht, geht die Fläche des Kaktusses auf einen endlichen Wert zu, den ich durch annährung mit der obigen... Rechnung?... bei 1,66666(...) vermute.


Der Umfang steigt, wenn ich (was ich aber nicht glaube) keinen Fehler gemacht hat gemäß:

Ux = Ux-1 + Qz(x)*[3*(1/Ql(x)]

Ux = Umfang in Generation x
Ql(x) = Seitenlänge eines Quadrates der Generation x


Wenn irgenjemand hier dazu die professionelle (Studentenwürdige) Lösung hat, könnte er mir die mal sagen? Es geht bestimmt schicker als mit meiner Metode... Embarassed


----
Ich durfte sowas nie in der Schule machen. Das macht viel mehr Spaß als unsere Trockenen Mathestunden... Sad
archi
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Anmeldungsdatum: 05.06.2005
Beiträge: 148

BeitragVerfasst am: 08 Jun 2005 - 18:00:40    Titel:

deine antwort klingt gut, habe wohl nur einen kleinen fehler endeckt. in der 2ten generation kommen nur 3 neue Quadrate hinzu, da G1 nur aus 3 seiten besteht (damit sich der kaktus an den boden anpassen kann)...

ansonsten schonmal vielen viele danke für den anzatz!!!!
Marcel_H
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Anmeldungsdatum: 01.06.2005
Beiträge: 273

BeitragVerfasst am: 08 Jun 2005 - 18:07:19    Titel:

mrks, da hab ich was falsch verstanden, sorry Crying or Very sad
archi
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Anmeldungsdatum: 05.06.2005
Beiträge: 148

BeitragVerfasst am: 08 Jun 2005 - 18:07:40    Titel:

sry, nochmal...was ich noch nicht ganz verstehe ist,was du mit * ausdrücken willst
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