Studium, Ausbildung und Beruf
 StudiumHome   FAQFAQ   RegelnRegeln   SuchenSuchen    RegistrierenRegistrieren   LoginLogin

fourier-entwicklung
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> fourier-entwicklung
 
Autor Nachricht
barbados_slim
Newbie
Benutzer-Profile anzeigen
Newbie


Anmeldungsdatum: 01.09.2010
Beiträge: 11

BeitragVerfasst am: 03 Sep 2010 - 14:56:34    Titel: fourier-entwicklung

hallo leute ich bins schon wieder ^^

diesmal gehts um die fourier-entwicklung:
ich soll betrag sinx fourier entwickeln,
a0=4/pi hab ich ausgerechnet.
da betrag sinx gerade ist habe ich

an=2/pi * Integral von 0 bis pi von sin(x)cos(nx) dx, schön und gut, aber sobald ich das integral löse kommt bei mir blöderweise 0=0 raus, also ich hab die partiellen integration versucht... da kommt bei mir:

Integral sin(x)*cos(nx) = sin(x)*sin(nx)/n | - (sin(x)*sin(nx)/n | + Integral sin(x)*cos(nx)

irgendwas läuft da gewaltig schief Embarassed

aus der mulö kann man entnehmen, dass sie ersteinmal sin(x)*cos(nx) als [sin((n+1)*x) - sin ((n-1)x)]/2 zusammengefasst haben, aber wie soll das gehen, die additionstheoreme oder sonstiges habe ich nicht geschafft drauf anzuwenden und mit sin (x) ^2 + cos (x) ^ 2 = 1 kommt man doch auch nicht weiter oder?

danke schonmal im vorraus...
xeraniad
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 29.01.2008
Beiträge: 1890
Wohnort: Atlantis

BeitragVerfasst am: 03 Sep 2010 - 15:31:05    Titel: Gleichgerichteter Sinus /sin() -Additionsthorem

Die trigonometrische Identität sin(α)·cos(β) = -½·sin(β-α)+½·sin(α+β) kann aus dem sin()-Additionsthorem hergeleitet und hier zur Bestimmung der Stammfunktion verwendet werden.
--
Herleitung: sin()-Additionsthorem zweimal aufschreiben, z. B. wie folgt.
sin(α+β) = sin(α)·cos(β) +cos(α)·sin(β)
sin(β-α) = sin(β)·cos(α) -cos(β)·sin(α)
½ Differenz:
- ½·sin(β-α)+½·sin(α+β) = sin(α)·cos(β)
--
Gerade Zeitfunktion f(t) = f(-t) → a[k] = 2·ω÷π ·∫0..π÷ω sin(ω·t)·cos(k·ω·t) ·dt = -2÷π ·[1+cos(k·π)]÷(k²-1) = -4÷π ·½·[1+(-1)^k]÷(k²-1) = -4÷π ·even(k) ÷(k²-1)
Fourier-Reihe: f(t) = ½·a[0] +∑k=1..∞ a[k]·cos(k·ω·t) → f(t) = 2÷π -4÷π ·∑n=1..∞ cos([2·n]·ω·t)÷(4·n²-1)

--
EDIT [19:43]: Gemäss meiner Ansicht sollte für dieses Beispiel der Fall k = 1 gesondert betrachtet werden, denn für k = 1 nimmt der allgemeine Ausdruck für den Koeffizienten b[k] die Form "0÷0" an. Es gibt zwei Möglichkeiten: ° Auswertung des Integrals für k = 1 oder ° Anwendung von L'Hospital: b[1] = lim k→1 b[k]. Beide Methoden zeigen, dass b[1] = 0. Ausserdem ist es der gegebenen Zeitfunktion ohnehin anzusehen, dass die zuvor angenomme Grund-Kreisfrequenz ω selbst im Signal nicht vorhanden ist, denn die wahre Grund-Kreisfrequenz ist bei diesem Beispiel mit gleichgerichtetem Sinus 2·ω.
--
Partielle Integration geht auch, aber es muss zweimal partiell integriert werden.
Code:
   ∫sin(ω·t) ·cos(k·ω·t) ·dt      =  1÷(k·ω) ·sin(ω·t)·sin(k·ω·t) -1÷k ·∫cos(ω·t) ·cos(k·ω·t) ·dt
       ↓         ↑
  ω·cos(ω·t)  sin(k·ω·t)÷(k·ω)
   ∫cos(ω·t) ·sin(k·ω·t) ·dt      = -1÷(k·ω) ·cos(ω·t)·cos(k·ω·t) -1÷k ·∫sin(ω·t) ·cos(k·ω·t) ·dt
       ↓         ↑
 -ω·sin(ω·t) -cos(k·ω·t)÷(k·ω)
→ ∫sin(ω·t)·cos(k·ω·t)·dt = 1÷(k·ω) ·sin(ω·t)·sin(k·ω·t)+1÷(k²·ω) ·cos(ω·t)·cos(k·ω·t) +1÷k² ·∫sin(ω·t)·cos(k·ω·t)·dt]
 (1-1÷k²)·∫sin(ω·t) ·cos(k·ω·t) ·dt = 1÷(k·ω) ·sin(ω·t)·sin(k·ω·t) +1÷(k²·ω) ·cos(ω·t)·cos(k·ω·t) +const.
  → ∫sin(ω·t) ·cos(k·ω·t) ·dt = [k·sin(ω·t)·sin(k·ω·t) +cos(ω·t)·cos(k·ω·t)]÷[ω·(k²-1)] +const.


Zuletzt bearbeitet von xeraniad am 04 Sep 2010 - 12:44:31, insgesamt 13-mal bearbeitet
barbados_slim
Newbie
Benutzer-Profile anzeigen
Newbie


Anmeldungsdatum: 01.09.2010
Beiträge: 11

BeitragVerfasst am: 03 Sep 2010 - 15:51:31    Titel:

ok danke schonmal, ich werds mal versuchen.
Beiträge der letzten Zeit anzeigen:   
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> fourier-entwicklung
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen Alle Zeiten sind GMT + 1 Stunde
Seite 1 von 1

 
Gehe zu:  
Du kannst keine Beiträge in dieses Forum schreiben.
Du kannst auf Beiträge in diesem Forum nicht antworten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht bearbeiten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht löschen.
Du kannst an Umfragen in diesem Forum nicht mitmachen.

Chat :: Nachrichten:: Lexikon :: Bücher :: Impressum