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Normalverteilung Mathematik
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tim bbbbbb
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Anmeldungsdatum: 04.10.2006
Beiträge: 61

BeitragVerfasst am: 04 Sep 2010 - 10:12:18    Titel: Normalverteilung Mathematik

Hey Leute,
befassen uns gerade mit der Normalverteilung in Mathe und haben dazu 2 Aufgaben gestellt bekommen. Die eine habe ich gelöst, bin mir jedoch nicht 100% sicher ob sie richtig ist und bei der zweiten habe ich nur ein Teil gelöst Wink
Das hier ist die erste Aufgabe:

1.Ein Würfel wird 3-mal hintereinander geworfen. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Zufallgröße X:Anzahl der Sechsen. Außerdem den Erwartungswert und die Varianz für die Wahrscheinlichkeitsverteilung
Meine Lösung:


Wahrschenilichkeitsverteilung:

Anzahl der 6en Wahrscheinlichkeit

0 0,579
1 0,347
2 0,069
3 0,005
Erwartungswert= np=3 1/6= 0,5
Varianz= 0,418 Rechung: (0-0,5)^2 * 0,579=0,14475 (1-0,5)^2 * 0,347=0,08675 ... alle vier Ergebnisse addieren und es kommt 0,418 heraus.
Was sagt ihr zu der Lösung? Passt das?
2.Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz für die Zufallsgröße X: Glückszahl des nebenstehenden Glücksrades. http://matheplanet.com/matheplanet/nuke/html/uploads/5/7723_gluecksrad1.gif
Erwartungswert= n*p= 1 * 1/3= 1/3 Stimmt das? Das Glücksrad soll doch nur einmal gedreht werden oder? Doch wie rechne ich jetzt die Varianz aus? Hoffe ihr könnt mir helfen Smile
Danke LG
BarneyG.
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Anmeldungsdatum: 16.11.2008
Beiträge: 668

BeitragVerfasst am: 04 Sep 2010 - 13:03:16    Titel:

Na, erst mal die gute Nachricht: den Erwartungswert und die Varianz für die erste Aufgabe hast du richtig berechnet.

Vielleicht sollte man aber doch noch folgendes anmerken: bei der Varianz hast du dir das Leben ein wenig zu schwer gemacht. Bei der Binomialverteilung gilt doch

V(X) = n * p * (1 - p) = 3 * 1/6 * 5/6 = 4,16...

Na, ja aber die Summierung liefert ja auch das richtige Ergebnis, wenn auch mit viel mehr Rechenaufwand. Very Happy

Die schlechte Nachricht aber ist, dass die Rechnung für die zweite Aufgabe vollkommen daneben liegt. Sad

Zitat:
Erwartungswert= n*p= 1 * 1/3= 1/3


Hier haben wir keine Binomialverteilung! Und deshalb gilt diese Formel nicht! Und auch die Formel V(X) = n * p * (1 - p) kann man hier nicht mehr anwenden.

Schreib doch einfach wie im ersten Fall die Verteilung auf:

P(1) = 1/3
P(2) = 1/3
P(3) = 1/3

Wie heißt denn so eine Verteilung?

Und dann berechnest du den Erwartungswert und die Varianz durch Summation, genau so wie du es im ersten Aufgabenteil gemacht hast. Oder du kennst die entsprechenden Formeln dafür. Der Aufwand ist in jedem Fall fast gleich groß. Und schon ist die Aufgabe gelöst!

(Zur Kontrolle E(X) = 2 und V(X) = 2/3)

Grüße
tim bbbbbb
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Anmeldungsdatum: 04.10.2006
Beiträge: 61

BeitragVerfasst am: 04 Sep 2010 - 15:05:11    Titel:

Danke für deine sehr aufschlussreiche Antwort.

Erst mal freut mich, dass die erste stimmt Razz
Bei der zweiten hab ich mir schon gedacht, dass sie nicht stimmt.

Was zeichnet denn nochmal eine Binominalverteilung aus?
Dann ist es beim Würfel doch auch keine Binominalverteilung oder?
Denn die Wahrscheinlichkeiten sind doch auch gleichmäßig verteilt, alles 1/6 und hier alles 1/3 ?
Hoffe auf eine Antwort Smile
Danke
und LG
BarneyG.
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Anmeldungsdatum: 16.11.2008
Beiträge: 668

BeitragVerfasst am: 04 Sep 2010 - 21:10:35    Titel:

Zitat:
Was zeichnet denn nochmal eine Binominalverteilung aus?


Bei der Binomialverteilung haben wir ein Experiment, das genau ZWEI Ausgänge A und B hat. Das Experiment wird mit gleichbleibenden Wahrscheinlichkeiten n mal ausgeführt. Die Zufallsvariable X zählt das Auftreten des Ausgangs A. Um dein Beispiel aufzugreifen: Wenn du das Rad drehst und nach der Wahrscheinlichkeit fragst eine "1" zu erhalten dann ist p = 1/3. Die Zufallsvariable X zählt die Anzahl der Einsen. Der Erwartungswert von X bei n-maligem Drehen ist

E(X) = n * p = n * 1/3

Und wenn du nur einmal drehst dann ist der Erwartungswert eben 1 * 1/3 = 1/3

Analog gilt das für das Werfen mit einem Würfel. Dann ist die Wahrscheinlichkeit eine "6" zu werfen p = 1/6. Und die Variable X zählt die auftretenden Sechsen bei n Würfen.

Aber in unserem Beispiel ist die Zufallsvariable Z etwas ganz anderes. Die Variable zählt nicht die Anzahl eines bestimmten Ereignisses, sondern, die Zufallsvariable Z nimmt mit der Wahrscheinlichkeit 1/3 jeweils die Werte 1, 2 oder 3 an. Und das ist eben keine Binomialverteilung. Und damit ist der Erwartungswert E(Z) etwas ganz anderes ...

Grüße
tim bbbbbb
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Anmeldungsdatum: 04.10.2006
Beiträge: 61

BeitragVerfasst am: 05 Sep 2010 - 09:43:28    Titel:

Danke vielmals Smile

Doch was ist es dann wenn es keine Binominalverteilung ist?
Auf der Skizze vom Drehrad im Buch zeigt der Pfeil auf die 2.
Das ist bei dem Link im Internet nicht so. Ist das vielleicht entscheident?

Danke für deine Bemühungen Smile
BarneyG.
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Anmeldungsdatum: 16.11.2008
Beiträge: 668

BeitragVerfasst am: 05 Sep 2010 - 10:13:56    Titel:

tim bbbbbb hat folgendes geschrieben:
Smile
Doch was ist es dann wenn es keine Binominalverteilung ist?


Die Zufallsvariable Z gibt das Ergebnis beim Drehen des Glücksrades an. Sie ist wie folgt verteilt:

P(Z=1) = p1 = 1/3
P(Z=2) = p2 = 1/3
P(Z=3) = p3 = 1/3

Z ist nicht binomial- sondern gleichverteilt. Deshalb kann man eben auch nicht die Formeln für die Binomalverteilung anwenden, sondern muss Erwartungswert und Varianz anders, also z.B. explizit ausrechnen.

Der Erwartungswert der Variablen Z ist dann explizit:

E(Z) = µ = 1 * p1 + 2 * p2 + 3 * p3 = ...

Die Varianz einer Zufallsvariablen berechnet sich wie folgt:

V(Z) = (1-µ)² * p1 + (2-µ)² * p2 + (3-µ)² * p3 = ...

Das sollte doch zu lösen sein ... Zumal ich dir die Ergebnisse zur Kontrolle schon genannt habe! Very Happy

Zitat:
Auf der Skizze vom Drehrad im Buch zeigt der Pfeil auf die 2. Das ist bei dem Link im Internet nicht so. Ist das vielleicht entscheident?


Natürlich ist das NICHT entscheidend! Es handelt sich doch um ein ZUFALLS-Experiment und deshalb wird der Zeiger auch stets wechselnde Positionen haben!

Grüße
tim bbbbbb
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Anmeldungsdatum: 04.10.2006
Beiträge: 61

BeitragVerfasst am: 05 Sep 2010 - 11:55:43    Titel:

Danke.
Hab jetzt E(Z)= 2 und V(Z)= 2/3, und das stimmt ja mit deinen Werten überein.

Vielen Dank !
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