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2 Aufgaben schwierig
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Maximus78
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Anmeldungsdatum: 31.05.2005
Beiträge: 33

BeitragVerfasst am: 07 Jun 2005 - 18:57:19    Titel: 2 Aufgaben schwierig

1. Aufgabe

Ein Tunnel mit parabelförmigem Querschnitt y=9-1/3x^2 (y>=0) soll rechteckig ausgemauert werden. Wie muss das Rechteck beschaffen sein, damit die verbleibende Tunnelfläche möglichst gross ist??


2. Aufgabe

Ein Tunnel mit Querschnitt y=6-1/6x^2 (y>=0) soll rechteckig ausgemauert werden. Wie muss das Rechteck beschaffen sein, damit die verbleibende Tunnelfläche möglichst gross ist??

Bekommen das die Experten raus??? Aber vorallem wie kommt man darauf? Gibt dazu mehrere Lösungsansätze??
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 07 Jun 2005 - 19:09:50    Titel:

In beiden Fällen muß das Rechteck auf der Erde mit einer Seite symmetrisch zur vertikalen Achse mit der X-Koordinate des Scheitelpunktes stehen und mit den Ecken den Tunnel berühren. Ich habe mich schon mal an eine ähnliche Aufgabe in diesem Forum rangemacht. Nachhinein mußte ich feststellen, daß der Beweis obiger Behauptung (den ich salopp falsch gemacht habe) sehr schwierig ist.
Maximus78
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Anmeldungsdatum: 31.05.2005
Beiträge: 33

BeitragVerfasst am: 07 Jun 2005 - 19:16:54    Titel:

hi,

ich weiss auch das das nicht gerade einfach ist. aber wie ist die lösung??????????
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 07 Jun 2005 - 19:23:11    Titel:

Zitat:
In beiden Fällen muß das Rechteck auf der Erde mit einer Seite symmetrisch zur vertikalen Achse mit der X-Koordinate des Scheitelpunktes stehen und mit den Ecken den Tunnel berühren.


Das ist die Lösung. Du fragst ja nach der Beschaffenheit des Rechtecks. Für konkrete Zahlen mußt Du z.B. für x die halbe Seitenlänge nehmen und 0 in der Mitte des Rechtecks lagen. Dann sind die Eckpunkte oben durch (-x,f(-x)) und (x,f(x)) gegeben. Die Fläche des Rechtecks ist dann:

A(x) = 2xf(x) = 2xf(-x)

da Rechteck symmetrisch. Die muß Du maximieren. Die Rechnerei ist ja nicht schwer. Der Beweis, daß das Rechteck so beschaffen sein muß (deine eigentliche Frage) ist ein Overkill.
Maximus78
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Anmeldungsdatum: 31.05.2005
Beiträge: 33

BeitragVerfasst am: 08 Jun 2005 - 11:54:44    Titel:

was verstehst du unter beschaffen sein??? ich versteh einfach welche maße es hat.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 08 Jun 2005 - 12:11:40    Titel:

Bevor Du die Maße ausrechnen kannst, mußt Du wissen, wie das Teil in diesem Tor liegen muß. Und das ist nicht so klar, wie es sonst aussieht. In deinem Fall muß es ein Tunnel sein, und vermutlich daher mit einer Seite am Boden liegen.

Für den ersten Fall gilt f(x)=9-1/3x^2. Und deine Fläche ist A(x) = 18x-2/3x^3. Die hat ein Maximum bei 3. Also ist die Grundlinie 6 und die Seitenlinie f(3) = 9 - 1/3*9 = 6.
Maximus78
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Anmeldungsdatum: 31.05.2005
Beiträge: 33

BeitragVerfasst am: 08 Jun 2005 - 13:17:31    Titel:

Deine Annahme der Aufgabe ist richtig. nur wie kommst du zu deinem Ergebnis?? könntest du mir den weg erklären?? danke
Matheboy18
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Anmeldungsdatum: 31.03.2005
Beiträge: 301
Wohnort: München

BeitragVerfasst am: 08 Jun 2005 - 16:42:46    Titel:

Hallo also du weißt, dass der Tunnel mit einer Funktion f(x) = -1/3*x^2+9 beschrieben ist!
Du weißt:
A = x * y
f(x) = y = f(x)

Also die Fläche ist: A = x* f(x) = x*y

A = x* ((-1/3)*x²+9)
A (x) = -(1/3)*x³ +9x
A' (x) = -x² +9= (x+3)(x-3) -.--> x_1 = 3,
x_2 = -3 (keine sinnvolle Lösung)

x_1 beschreibt nur die halbe Seite!

c = Grundseite = 3*2 = 6cm (oder was für eine Einheit auch immer)

f(3) = -(1/3)*3²+9 = 6 ---> Ist ein Quadrat!

Bei der Aufgabe Nr. 2 geht man genau wie hier vor!

f(x) = -(1/6)*x^2+6
A = x*y
A = x* f(x)
A = x* [-(1/6)*x^2+6]
A = -(1/6)*x³+6x
A'(x) = -0,5*x² +6
x_1 = Wurzel(12)
x_2= - Wurzel (12) ---> keine sinnvolle Lösung!

f(Wurzel12) = 4

Wurzel(12) * 2 = 2*Wurzel(12) = Gesamtlänge in x Richtung!
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 08 Jun 2005 - 19:39:27    Titel:

Zitat:
Also die Fläche ist: A = x* f(x) = x*y


A(x) = 2xf(x), denn x ist, wie gemerkt, die halbe Seite. Ab hier ist dann manches nicht richtig. Glücklicherweise verändern multiplikative Konstanten weder die Nullstellen der Ableitung noch der Funktion selbst. Daher stimmendie Zahlen überein. Würde man nun die maximale Fläche ausrechnen wollen, so würde man einen Fehler bekommen.

Ich habe mit Absicht keine Komplettlösung hingeschrieben, denn die Hilfestellungen sollten meiner Meinung nach zur Selbstarbeit anregen und nicht zum Abschreiben.
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