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Unendliche Reihe - Summe
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Differentialgleichung
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Anmeldungsdatum: 01.01.2009
Beiträge: 757

BeitragVerfasst am: 05 Sep 2010 - 16:09:40    Titel: Unendliche Reihe - Summe

Hallo,

folgende Aufgabe: Man soll die Summe der unendlichen Reihe

sum (n=1;oo) 1/(4n²-1) berechnen.


Geht das über die Teleskopsumme?

Also ich hab mir gedacht, dass man den Nenner faktorisiert:

sum (...) 1/4(n+0,5)(n-0,5) = 1/4 sum (...) a/(n+1/2) + b/(n-0,5)

Mit Paritalbruchzerlegung: a=-1, b=1

also

1/4 sum ((-1/(n+0,5))+ (1/(n+0,5)))

und mit Hilfe der Teleskopsumme dann schließlich

1/4 (0+2)=0,5


Stimmt das?

Weil normalerweise steht ja dann bei Teleskopsummen sowas da wie 1/k + 1/(k-1) ...

Sonst wüsste ich auch gar keinen anderen Ansatz, wie ich da ran gehen sollte ...

Vielen Dank schonmal für eure Hilfe!

Very Happy
BarneyG.
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Anmeldungsdatum: 16.11.2008
Beiträge: 668

BeitragVerfasst am: 05 Sep 2010 - 17:52:06    Titel:

Ich nehme mal an, dass es nur ein Schreibfehler ist ...

Zitat:
1/4 sum ((-1/(n+0,5))+ (1/(n+0,5)))


Außerdem würde ich nur 1/2 und nicht 1/4 ausklammern und die Reihenfolge der Summanden vertauschen, das macht sich optisch besser ...

... = 1/2 * sum ((1/(2n-1)) - (1/(2n+1)))

= 1/2 * ( (1 - 1/3) + (1/3 - 1/5) + (1/5 - 1/7) + ...)

= 1/2 * 1 = 1/2

Deine Idee mit der Partialbruchzerlegung und der Teleskopsumme war also goldrichtig.

Grüße
Differentialgleichung
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Anmeldungsdatum: 01.01.2009
Beiträge: 757

BeitragVerfasst am: 05 Sep 2010 - 18:05:47    Titel:

Hallo Barney,

danke für deine Anmerkungen!! Very Happy Very Happy

Das oben war tatsächlich nur ein Tippfehler von mir.

LG
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