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Stetigkeit etc.
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Schokopralinchen
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Anmeldungsdatum: 08.08.2008
Beiträge: 440

BeitragVerfasst am: 05 Sep 2010 - 17:52:10    Titel: Stetigkeit etc.

Da ich bald eine mündliche Matheprüfung habe, möchte ich dieses Thema gerne komplett verstehen. Hab noch so wischi-waschi-Schulwissen was ich mir so im Internet durchlese, verstehe ich nie so wirklich bis ins Detail. In meinem Skript stehen dazu einzelne Fetzen, die ich verstehe, aber die Aufgaben sind dann doch immer nochmal anders.

Und zwar ist ja eine Funktion, die differenzierbar ist auch stetig, oder? Aber was bringt mir das genau für eine Aufgabe? Soll ich sie differenzieren? Ich hab so viele Seiten durchgelesen, dass ich nun gar nichts mehr verstehe. Ich hätte einfach gerne irgendwie eine Erklärung gefunden, wie man bei sowas allgemein vorgehen kann.

Ich habe mir das dagegen meist so erarbeitet. Kommt dann natürlich auf den Aufgabentypus an. Ich habe bis jetzt mit Definitionslücken, hebbaren Polstellen usw. argumentiert.

Aber was mache ich in einem solchen Fall:

g(x)=(x³-1)(x-1)

Habe die Nullstelle im Zähler und Nenner gesucht, die eins ist. Dann habe ich die Polynomdivision durchgeführt mit (x³-1) und (x-1) (um die Linearfaktorzerlegung raus zu bekommen). Mein Ergebnis ist: x²+x+1 (Das (x-1) kürzt sich ja weg). Und nun? Sage ich nun, dass die Ausgangsfunktion bei x=1 ne hebbare Definitionslücke hat und deshalb nicht stetig ist. Oder sage ich, dass sie in der unteren Schreibweise stetig ist. Oder gar beides?

Und was mache ich beispielsweise bei

f(x)=(x+1)(x+1) wobei der Zähler im Betrag steht?

Ich bin vollkommen durcheinander.
BarneyG.
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Anmeldungsdatum: 16.11.2008
Beiträge: 668

BeitragVerfasst am: 05 Sep 2010 - 18:03:41    Titel:

Zitat:
g(x)=(x³-1)(x-1)


Ich nehme mal an, dass es g(x)=(x³-1) / (x-1)

heißen soll.

Der Definitionsbereich dieser Funktion ist R - {1}, denn durch Null darf man ja nicht dividieren.

Die Funktion ist im Definitionsbereich differenzierbar (warum?) und deshalb ist sie auch stetig, wie du ja schon richtig bemerkt hast.

Betrachten wir nun f(x) = x²+x+1

Diese Funktion ist auf ganz R definiert und differenzierbar. Also ist f(x) insbesondere stetig.

Und wie du durch Polynomdivision gezeigt hast, gilt außerdem

f(x) = g(x) für x € R - {1}

g(x) stimmt also außer an der Stelle x=1 mit der stetigen Funktion f(x) überein. An der Stelle x=1 hat der Graf von g(x) ein "Loch". Da macht es doch Sinn, diesen Punkt einfach hinzu zu nehmen ... mit anderen Worten, die Funktion g(x) stetig zu ergänzen.

Tja und dann kommen wir zur zweiten Aufgabe:

h(x) = (x +1)(x + 1)

Diese Funktion ist überall definiert. Sie ist differenzierbar und damit auch stetig. Schöner geht es doch nicht mehr ... Very Happy

Grüße
Deniz
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Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 3122

BeitragVerfasst am: 05 Sep 2010 - 19:42:33    Titel:

Ich glaube, er meint

h(x) =| (x +1) | / (x + 1)

Das heißt:

h(x) = (x+1) / (x+1) = 1 für x>= -1
h(x) = -(x+1) / (x+1) = -1 für x< -1

Vielleicht kommst Du jetzt weiter?
Schokopralinchen
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Anmeldungsdatum: 08.08.2008
Beiträge: 440

BeitragVerfasst am: 06 Sep 2010 - 14:17:44    Titel:

Also "aufgeteilt" habe ich diese Funktion auch. Einmal mit minus vor der Klammer, einmal ohne.. so, wie mans bei den Betragsachen eben macht. Laughing Dann habe ich ebenfalls 1 und minus 1 raus.

Aber irgendwie verstehe ich einfach nicht, was ich nun danach machen soll.
Deniz
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Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 3122

BeitragVerfasst am: 06 Sep 2010 - 14:37:46    Titel:

Ist denn die Funktion für x=-1 stetig?
Das musst doch prüfen, oder?
Und? Wie prüft man Stetigkeit auf einfache Weise?
Schokopralinchen
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Anmeldungsdatum: 08.08.2008
Beiträge: 440

BeitragVerfasst am: 06 Sep 2010 - 15:21:55    Titel:

Sorry, ich glaube, ich stehe gerade total aufm Schlauch. Bis jetzt hätte ich das so gemacht, ohne irgendwelche Grenzwertbetrachtungen. Mit Definitionslücken, hebbaren Definitionslücken, Polstellen usw. Ich verstehe einfach nicht, wie du nun darauf kommst, dass ersteres für alle x>= -1 gelten soll. Also ich verstehe es einfach von Grund auf gerade nicht und eventuell sitze ich gerade nicht nur auf dem Schlauch, sondern ich hab ihn eventuell auch abgeschnitten.. ich verstehs nicht.
Embarassed

Stetigkeit prüfe ich, wie gesagt, ohne Grenzwertbetrachtungen (falls das überhaupt so funktioniert). Ich würde sagen, dim Nenner hats eine Nullstelle bei x=-1, ebenso im Zähler -> hebbare Definitionslücke und somit unstetig. Ansonsten muss ich wohl schauen, ob die rechte und linke Grenze existiert und übereinstimmt?
Das Problem ist zudem, dass in den Lösungen steht, die Funktion sei bei x=1 nicht stetig.
BarneyG.
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Anmeldungsdatum: 16.11.2008
Beiträge: 668

BeitragVerfasst am: 06 Sep 2010 - 18:33:20    Titel:

Deniz scheint wohl gerade nicht online zu sein, deshalb will ich mal antworten.

Zitat:
Stetigkeit prüfe ich, wie gesagt, ohne Grenzwertbetrachtungen


Da frag ich mich aber, WIE du das dann anstellst? Denn die Stetigkeit wird in der Schule meist ist über Grenzwerte in etwa wie folgt definiert:

Eine Funktion heißt "stetig" im Punkt x, wenn der Grenzwert der Funktion f(x) existiert und mit dem Funktionswert f(x) übereinstimmt.

Wenn die Funktion im Punkt x nicht erklärt ist, aber die links- und rechtsseitigen Grenzwerte von f(x) existieren und stimmen überein, dann heißt die Funktion "stetig ergänzbar", in dem man den fehlenden Wert f(x) durch den gemeinsamen Grenzwert ersetzt.

In unserem Fall existiert der Funktionswert f(1) nicht. Also müssen wir prüfen, ob die Funktion stetig ergänzbar ist.

Dazu betrachten wir den LINKSseitigen Grenzwert, x nähert sich also der 1 von links, d.h. x < 1. In diesem Fall sind die Funktionswerte f(x) = -1 ... und damit haben wir den linksseitigen Grenzwert -1.

Nun machen wir das gleiche mit dem RECHTSseitigen Grenzwert. Hier nähert sich x von rechts der 1. Also ist x > 1 und damit sind alle Funktionswerte f(x) = 1 ... und damit haben wir den rechtsseitigen Grenzwert +1.

Die beiden Grenzwert stimmen also nicht überein. Deshalb ist die Funktion im Punkt x=1 nicht stetig ergänzbar.

Grüße
Schokopralinchen
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Anmeldungsdatum: 08.08.2008
Beiträge: 440

BeitragVerfasst am: 06 Sep 2010 - 19:26:38    Titel:

Wieso existiert 1 nicht? Shocked Eher -1 oder?

Ich habe zum Beispiel nach hebbaren Definitionslücken geschaut, wie ich schon geschrieben habe. Habe ja auch gefragt, ob man Stetigkeit so überprüfen kann.
Kann irgendjemand einfach ne allgemeine Vorgehensweise aufschreiben? Also ich schaue nach der Definitionsmenge, sehe, dass ich eine bestimmte Zahl nicht einsetzen darf. Näher mich ihr an, von beiden Seiten. Und schaue, ob die Grenzwerte übereinstimmen (bzw. ob er existiert)?

Und noch eine Frage. Woher weiß ich denn, dass die erste Gleichung (also "positiver Betrag sozusagen") für alle Zahlen größer = -1 gilt? Und wieso die 2. für alle, die kleiner als -1 sind?
BarneyG.
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Anmeldungsdatum: 16.11.2008
Beiträge: 668

BeitragVerfasst am: 06 Sep 2010 - 20:28:30    Titel:

Ja natürlich ... wir betrachten x = -1

An dieser Stelle ist |x + 1| / (x + 1) nicht definiert.

Zitat:
Also ich schaue nach der Definitionsmenge, sehe, dass ich eine bestimmte Zahl nicht einsetzen darf. Näher mich ihr an, von beiden Seiten. Und schaue, ob die Grenzwerte übereinstimmen (bzw. ob er existiert)?


Jo ... aber zuerst schaust du, ob die Grenzwerte existieren und dann, ob sie gleich sind ... Very Happy

Zitat:
Und noch eine Frage. Woher weiß ich denn, dass die erste Gleichung (also "positiver Betrag sozusagen") für alle Zahlen größer = -1 gilt?


Also, wir nähern und von links an die -1. Dann ist x < -1

Wir addieren auf beiden Seiten 1 und erhalten

x + 1 < 0 für alle x < - 1

Und deshalb ist

|x + 1| / (x + 1) = -1 für alle x < -1

Deshalb ist der Grenzwert von links gleich -1.

Und wenn ich mich von rechts nähere ist x > -1

Wir addieren 1 auf beiden Seiten und erhalten

x + 1 > 0 für alle x > -1

Deshalb ist

|x + 1| / (x + 1) = +1 für alle x > -1

Deshalb ist der Grenzwert von rechts gleich +1

Und damit ist die Funktion nicht stetig ergänzbar.

Um es dir anschaulich klar zu machen, solltest du die Funktion f(x) = |x + 1| / (x + 1) grafisch darstellen. Du erhältst eine "Treppenfunktion", die bei x = -1 einen Sprung macht, nämlich von -1 auf +1. Und genau deshalb kann man sie nicht stetig ergänzen.

Grüße
Schokopralinchen
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Anmeldungsdatum: 08.08.2008
Beiträge: 440

BeitragVerfasst am: 07 Sep 2010 - 14:15:50    Titel:

Vielen Dank. Ich denke, das habe ich nun alles verstanden. Irgendwie finde ich aber meinen Weg mit den hebbaren Definitionslücken usw. viel.. einfacher, weils schneller geht und nicht so viel Schreibarbeit ist. Question
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