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Unlgeichungen mit komplexen Zahlen
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Feuerflamme
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Anmeldungsdatum: 27.09.2009
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BeitragVerfasst am: 06 Sep 2010 - 15:53:50    Titel: Unlgeichungen mit komplexen Zahlen

Hallo,

und zwar soll man die Schnittmenge von 2 Ungleichungen skizzieren.

M1 = {z e C | |z-3-i| "kleinergleich" 2 }
M2 = {z e C | |z-2-2i| "kleinergleich" |z-6|}

Menge M1 ist die Menge innerhlab eines Kreises mit dem Radius 2 und dem Mittelpunkte bei (3,i). Wobei ich das auch eher geraten hatte, da es mir logisch erschien.

Nur bei M2 weiß ich nicht weiter, da auf beiden Seiten z vorkommt. Wie rechnet man sowas am geschicktesten aus? Wenn ich z durch a+ib jeweils ersetze kam auch nichts vernünftiges dabei raus. Darf ich einfach minus z machen, dann sind die z auf beiden Seiten verschwunden, jedoch hab ich davon ja auch nichts?
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
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BeitragVerfasst am: 06 Sep 2010 - 16:04:54    Titel:

|z-2-2i| ist der Abstand, den z vom Punkt 2+2i hat.
Analog ist |z-6| der Abstand von 6.

M2 umfaßt alle Punkte, bei denen der erste Abstand kleiner ist als der zweite...

Gruß, mike
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
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BeitragVerfasst am: 06 Sep 2010 - 16:07:55    Titel:

Zitat:
Wenn ich z durch a+ib jeweils ersetze kam auch nichts vernünftiges dabei raus.

Sollte aber, nämlich dass M2 = {z € C | 2 rea(z) - ima(z) <= 14}. Schritt für Schritt:

M2
= {z € C | |z-2-2i| <= |z-6|}
= {z € C | |a+bi-2-2i| <= |a+bi-6|}
= {z € C | |(a-2)+(b-2)i| <= |(a-6)+bi|}
= {z € C | wurzel((a-2)² + (b-2)²) <= wurzel((a-6)²+b²)}
= {z € C | (a-2)² + (b-2)² <= (a-6)² + b²}
= {z € C | a² - 4a + 4 + b² - 4b + 4 <= a² - 12a + 36 + b²}
= {z € C | 8a - 4b <= 28}
= {z € C | 2a - b <= 14}

Die Ungleichheit bei der Streichung der Wurzel bleibt erhalten, da die Wurzel-Funktion monoton steigend ist.
Feuerflamme
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Anmeldungsdatum: 27.09.2009
Beiträge: 112

BeitragVerfasst am: 06 Sep 2010 - 16:26:19    Titel:

danke euch beiden, ein wenig hab ich das jetzt kapiert. Smile

Zitat:

= {z € C | |(a-2)+(b-2)i| <= |(a-6)+bi|}
= {z € C | wurzel((a-2)² + (b-2)²) <= wurzel((a-6)²+b²)}

so wollte ich das auch probieren. Hatte das i aber nicht wegbekommen. Gerade nochmal informiert und gesehen, dass ja |z|^2 = z * z´ ist. Embarassed

wie interpretieren ich das Ergebnis nun? Also das 2a - b <= 14, es kommt ja kein i mehr darin vor?
Wenn ich mir die Lösung anschaue, dann wäre das der ganze Bereich links von einer Geraden mit der Steigung 2 durch den Punkt (4,1). Man sieht leider nicht mehr wo sie die Im(z) Achse schneidet, aber vermutlich bei -7.
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8197
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BeitragVerfasst am: 06 Sep 2010 - 16:33:06    Titel:

Ja, M2 ist eine Halbebene, die durch jene Gerade begrenzt ist. (Nämlich durch die Mittelsenkrechte von 2+2i und 6)

Wo sie die imaginäre Achse schneidet, erfährst Du, wenn Du in der Geradengleichung 2a - b = 14 einfach den Realteil gleich null setzt.

Gruß, mike
Feuerflamme
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Anmeldungsdatum: 27.09.2009
Beiträge: 112

BeitragVerfasst am: 06 Sep 2010 - 16:53:30    Titel:

Irgendwie hab ich das doch noch nicht ganz verstanden.

Bei der Gleichung 2a - b = 14 ist doch
a der Realteil und b der Imaginärteil?

Wenn ich jetzt doch a = 0 setze, bekomme ich doch -b = 14.
Also b = -14

Müsste doch aber -7 rauskommen.
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8197
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BeitragVerfasst am: 06 Sep 2010 - 17:01:40    Titel:

Natürlich hast Du recht!
Der Widerspruch liegt daran, daß Annihilator von 8a - 4b <= 28 zu 2a - b <= 14 verkehrt dividiert hat. Confused

Gruß, mike
Annihilator
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Anmeldungsdatum: 18.05.2007
Beiträge: 6394
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BeitragVerfasst am: 06 Sep 2010 - 18:04:40    Titel:

*schäm*
ja das hab ich wohl
*schäm*
Feuerflamme
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Anmeldungsdatum: 27.09.2009
Beiträge: 112

BeitragVerfasst am: 07 Sep 2010 - 10:39:06    Titel:

hab doch noch größere Schwierigkeiten mit den komplexen Zahlen. Sad
Und zwar folgende Aufgabe
Gezeichnet werden soll die Menge
M1 = {z e C : z^3 = |z|^3 }
und
M2 = {z e C : zz' - 3|z| + 2 <= 0} (z' ist die konjugiert komplexe Zahl)

Ich fange mal mit M1 an
z^3 = |z|^3 einfach die 3te Wurzel ziehen?
z = |z|
a+bi = sqrt(a^2 + b^2)
Nun quadriere ich
(a+bi)^2 = a^2 + b^2
a^2 + 2bi +(bi)^2 = a^2 + b^2
2bi - b^2 = 0

Das Ergebnis sagt mir jetzt aber absolut garnichts. Da ich diesmal auch keine Musterlösung dazu habe kann ich mir das auch nicht irgendwie zusammenreimen.

Trotzdem noch M2 versucht
zz' - 3|z| + 2 <= 0
(a^2 + b^2) - 3*sqrt(a^2 + b^2) + 2 <= 0
Wurzelausdruck auf die rechte Seite
a^2 + b^2 + 2 <= 3*sqrt(a^2 + b^2)
quadrieren
(a^2 + b^2 + 2)^2 <= 9*(a^2 + b^2)
Aber hier sehe ich dann schon nicht mehr wo mich das sinnvoll hinführen soll. Wenn ich das ausmultipliziere ende ich ja mit a^4 und b^4.
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8197
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BeitragVerfasst am: 07 Sep 2010 - 11:03:49    Titel:

Zitat:
2bi - b^2 = 0

Das sagt folgendes: 2bi+b² ist eine komplexe Zahl mit dem Realteil b² und dem Imaginärteil 0. Die kann nur 0 sein, wenn beide Anteil verschwinden. Und das liefert Dir b=0.
Nun darf a aber beliebig sein. Denn es ist schon vorher aus der Rechnung herausgefallen.
Und damit hast du: alle a+0*i erfüllen die Gleichung. Und das sind alle reellen Zahlen.

Doch das ist leider falsch.

Einerseits hast Du beim Quadrieren im gemischten Glied 2bi ein a vergessen. Daher hätte es heißen müssen 2abi - b^2 = 0. Das hätte aber nichts an der Lösung b=0 und a beliebig geändert.

Andererseits hast Du aber durch das Quadrieren dafür gesorgt, daß jetzt auch negative reelle Zahlen als Lösung erscheinen. Die sind nämlich gar keine. Ursprünglich stand da nämlich z=|z|. Und da hättest Du schon sehen können: Das paßt für die ganze positibve reelle Achse.

Schließlich hast Du Dir aber nicht nur mit dem Quadrieren, sondern auch mit der dritten Wurzel eine Bärendienst erwiesen. Denn damit hast Du alle die komplexen Zahlen ausgeschlossen, die durch die dritte Potenz erst auf die reelle Achse abgebildet werden. Überlege Dir mal, welche das sind.

Und bei M2 beginnst Du besser, indem Du zz' durch |z|² ersetzt.

Gruß, mike
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