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Schnittpkte von Kreis und geraden!
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AdamRiese
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Anmeldungsdatum: 02.12.2004
Beiträge: 57
Wohnort: Bocholt

BeitragVerfasst am: 08 Jun 2005 - 17:57:38    Titel: Schnittpkte von Kreis und geraden!

also ich hab da so eine aufgabe:
4a) g=(1,1,1)+t(2,1,1) K: (r-(0,0,0))²=1

und davon muss ich jetzt die schnittpkte ausrechnen mir ist das noch nicht so klar wie man den schnittpkte ausrechnet wenn man die verschiebungsform hat!
y0011482
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Anmeldungsdatum: 25.05.2005
Beiträge: 18

BeitragVerfasst am: 08 Jun 2005 - 21:38:20    Titel: Gerade und Kugel

Hallo AdamRiese

Hier handelt es sich um eine Kugel. Und was Du suchst, sind die beiden Punkte der Kugeloberfläche, wo ein Pfeil in den Apfel eintritt und auf der anderen Seite wieder raus kommt.

Zur Berechnung nimmst Du Deine Geradengleichung, die ja die Vektoren aller Punkte auf der Geraden produziert und setzt sie in die Kugelgleichung, welche alle Punkte auf der Kugel beschreibt. Übrig bleiben nur die beiden Punkte, die beides erfüllen.

g: (x|y|z)=(1|1|1)+t(2|1|1)
K: |(x|y|z)-(0|0|0)|=1

|(1|1|1)+t(2|1|1)-(0|0|0)| = 1
|(1+t*2-0 | 1+t*1-0 | 1+t*1-0)| = 1
sqrt((1+2t)² + (1+t)² + (1+t)²) = 1
(1+2t)²+(1+t)²+(1+t)² = 1
1²+2*2t*1+4*t²+2*(1+2t+t²) = 1
1+4t+4t²+2+4t+2t² = 1
6t²+8t+3 = 1
t²+8/6*t+(3-1)/6 = 0
t²+4/3*t+1/3 = 0

pq-Formel mit p=4/3 und q = 1/3:

t12 = -p/2 +- sqrt((p/2)²-q)
t12 = -4/6 +- sqrt(16/36-12/36)
t12 = -2/3 +- sqrt(1/9)
t12 = -2/3 +- 1/3
t1 = -1 und t2 = -1/3

(Sollte statt der 1/9 unter der Wurzel mal 0 rauskommen, dann fallen beide Schnittpunkte zusammen und die Gerade ist eine Tangente, die die Kugel nur in einem Punkt berührt. Wenn der Ausdruck unter der Wurzel negativ ist, dann geht die Gerade an der Kugel vorbei.)

Wenn man das jetzt in die Geradengleichung einsetzt erhält man die beiden Punkte:
P1 = (1|1|1)-1*(2|1|1) und P2 = (1|1|1)-1/3*(2|1|1)
also P1 = (-1|0|0) und P2 = (1/3|2/3|2/3)

Beide Punkte liegen auch auf der Kugel wegen:
sqrt((-1)²+0²+0²) = sqrt(1) = 1 und
sqrt((1/3)²+(2/3)²+(2/3)²) = sqrt(1/9+4/9+4/9) = sqrt(1) = 1

Das wars
y0011482
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