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Vektoren/Oktaeder
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Apfelmobs
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Anmeldungsdatum: 08.06.2005
Beiträge: 2

BeitragVerfasst am: 08 Jun 2005 - 21:31:30    Titel: Vektoren/Oktaeder

komm mit folgender Aufgabe gar nciht klar, glaub aber auch dass die schwer ist. Thema ist Vektoren.
Ermitteln Sie die Koordinaten der Punkte P und Q, die ABCD zu einem regelmäßigen Oktaeder ergenzen.

ABCD: Quadrat
A(1/-2/-3)
B(3/2/1)
C(-1/0/5)
D(-3/-4/1)

Lösungsweg wäre cool, danke im vorraus Wink
maerchenkoenig
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Anmeldungsdatum: 23.05.2005
Beiträge: 47
Wohnort: frankfurt am main

BeitragVerfasst am: 09 Jun 2005 - 08:41:10    Titel:

hallo,

im oktaeder sind alle seiten gleichlang. Die Punkte P,Q liegen senkrecht über dem Mittelpunkt von ABCD.

grüße
m
y0011482
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Anmeldungsdatum: 25.05.2005
Beiträge: 18

BeitragVerfasst am: 10 Jun 2005 - 19:07:31    Titel:

Hallo Apfelmobs!

Zuerst wird das Quadrat geprüft:

A-B = ( 1|-2|-3)-( 3| 2| 1) = (-2|-4|-4)
B-C = ( 3| 2| 1)-(-1| 0| 5) = ( 4| 2|-4)
C-D = (-1| 0| 5)-(-3|-4| 1) = ( 2| 4| 4)
D-A = (-3|-4| 1)-( 1|-2|-3) = (-4|-2| 4)

Offensichtlich sind die gegenüberliegenden Seiten-Paare A-B zu C-D, und B-C zu D-A linear abhängig (also parallel ausgerichtet) und alle gleich lang:
sqrt((+-2)²+(+-4)²+(+-4)²) = sqrt(4+16+16) = 6

(Das muß übrigens auch für alle Kanten des Oktaeders gelten.)

Außerdem ergeben sich die Diagonalen zu:
A-C = ( 1|-2|-3)-(-1| 0| 5) = ( 2|-2|-8)
B-D = ( 3| 2| 1)-(-3|-4| 1) = ( 6| 6| 0)

Die beiden Diagonalen sind um sqrt(2) länger als die Kanten:
sqrt(2²+2²+8²) = sqrt(6²+6²+0²) = sqrt(72) = sqrt(2*6²) = 6 * sqrt(2)
(nach Pythagoras ist das Quadrat der Hypotenuse (Diagonale) gleich der Summe der Quadrate der Katheten (Kanten))

Damit geben die Punkte A bis D wirklich ein Quadrat an.

Ein Oktaeder hat 8 Flächen, 12 Kanten und 6 Ecken. Jeweils gegenüberliegende Ecken sind durch 3 Raum-Diagonalen verbunden, die alle im Mittelpunkt senkrecht aufeinander stehen und gleich lang sind. 2 dieser Diagonalen sind oben schon ausgerechnet als Richtungsvektoren AC und BD. Die beiden spannen eine Ebene auf, zu der die Normale im Mittelpunkt gesucht wird.

Der Mittelpunkt ist:
M = C+0,5*(A-C) = (-1| 0| 5) + ( 1|-1|-4) = ( 0|-1| 1) oder
M = D+0,5*(B-D) = (-3|-4| 1) + ( 3| 3| 0) = ( 0|-1| 1) was erfreulicherweise das Gleiche ergibt.

Das Kreuzprodukt für Vektoren hat die Eigenschaft, dass es zu zwei Vektoren einen dritten ergibt, der senkrecht auf beiden steht.

(0,5*(A-C)) x (0,5*(B-D))
= (1|-1|-4) x (3|3|0)
= ( a2*b3 - a3*b2 | a3*b1 - a1*b3 | a1*b2 - a2*b1 )
= ( -1* 0 - -4* 3 | -4* 3 - 1* 0 | 1* 3 - -1* 3 )
= ( 12 | -12 | 6 )

Dieser Vektor ist leider zu lang, hat aber die gewünschte Richtung:
sqrt(12²+12²+6²) = sqrt(144+144+36) = sqrt(324) = 18

Die gewünschte Länge ist die halbe Diagonale:
sqrt(1²+1²+4²) = sqrt(3²+3²+0²) = sqrt(18)
Das ergibt einen Umrechnungs-Faktor von
sqrt(18)/18 = sqrt(9*2) / 18 = 3*sqrt(2) / 18 = sqrt(2) / 6

Also liegen P und Q auf
P = M + sqrt(2)/6 * (12|-12|6) = (0+12*sqrt(2)/6 | -1-12*sqrt(2)/6 | 1+6*sqrt(2)/6)
Q = M - sqrt(2)/6 * (12|-12|6) = (0-12*sqrt(2)/6 | -1+12*sqrt(2)/6 | 1-6*sqrt(2)/6)

P( sqrt(8) | -1-sqrt(8) | 1+sqrt(2))
Q(-sqrt(8) | -1+sqrt(8) | 1-sqrt(2))

Zur Sicherheit werden die Abstände von A bis D zu P bzw. Q geprüft:
A-P : sqrt(( 1-sqrt(8))² + (-2+1+sqrt(8))² + (-3-1-sqrt(2))²) = sqrt(36) = 6
B-P : sqrt(( 3-sqrt(8))² + ( 2+1+sqrt(8))² + ( 1-1-sqrt(2))²) = sqrt(36) = 6
C-P : sqrt((-1-sqrt(8))² + ( 0+1+sqrt(8))² + ( 5-1-sqrt(2))²) = sqrt(36) = 6
D-P : sqrt((-3-sqrt(8))² + (-4+1+sqrt(8))² + ( 1-1-sqrt(2))²) = sqrt(36) = 6

A-Q : sqrt(( 1+sqrt(8))² + (-2+1-sqrt(8))² + (-3-1+sqrt(2))²) = sqrt(36) = 6
B-Q : sqrt(( 3+sqrt(8))² + ( 2+1-sqrt(8))² + ( 1-1+sqrt(2))²) = sqrt(36) = 6
C-Q : sqrt((-1+sqrt(8))² + ( 0+1-sqrt(8))² + ( 5-1+sqrt(2))²) = sqrt(36) = 6
D-Q : sqrt((-3+sqrt(8))² + (-4+1-sqrt(8))² + ( 1-1+sqrt(2))²) = sqrt(36) = 6

Damit sind die gesuchten Punkte P und Q von allen 4 Ecken des Quadrates genau 6 Einheiten entfernt. Also ist ABCDPQ ein Oktaeder.

y0011482
Apfelmobs
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Anmeldungsdatum: 08.06.2005
Beiträge: 2

BeitragVerfasst am: 11 Jun 2005 - 15:25:14    Titel: danke

danke für die ausführliche Antwort Wink
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