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Umkehrfunktion der Funktion sqrt(25-4x²)
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Umkehrfunktion der Funktion sqrt(25-4x²)
 
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nele&paul
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Anmeldungsdatum: 02.10.2010
Beiträge: 5

BeitragVerfasst am: 02 Okt 2010 - 19:12:32    Titel: Umkehrfunktion der Funktion sqrt(25-4x²)

Hi,
ich habe ein Problem..ich schreib nächste woche meine erste lk klausur in mathe und habe keinen plan wie das mit den umkehrfunktionen geht..
um festzustellen, ob die funktion umkehrbar ist, muss ich die ableitung bilden.. das krieg ich noch hin.. aber ich weiß einfach nicht, wie ich die umkehrfunktion von wurzel aus (25-4x²) bilden soll Confused Confused
bittttttttte, kann mir jemand dabei helfen??
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 7024
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 02 Okt 2010 - 19:21:55    Titel:

Erstens: Wie stellst Du denn mit Hilfe der Ableitung fest, ob die Funktion umkehrbar ist?

Zweitens: Das generelle Vorgehen, um die Umkehrfunktion - wenn sie denn existiert - zu bestimmen, ist:
- Die Funktionsgleichung y=f(x) nach x auflösen.
- x und y vertauschen.

Gruß, mike
-stopfkind-
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Anmeldungsdatum: 27.02.2010
Beiträge: 1958

BeitragVerfasst am: 02 Okt 2010 - 21:21:30    Titel:

M_Hammer_Kruse hat folgendes geschrieben:

- x und y vertauschen.



musste nichtmal die umkehrfunktion kann ja auch g(y) heißen oder x(y)
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 7024
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 02 Okt 2010 - 22:34:03    Titel:

Nein, vertauschen muß man auf jeden Fall. Das ist es erst, was die Umkehrfunktion erzeugt.

Egal, wie die Variablen heißen (meistens sind es halt x und y), sorgt die Funktionsgleichung dafür, daß jedem x-Wert genau ein y-Wert zugeordnet wird. So bildet y=2x+5 eben den Wert x=1 auf y=7 ab.

Die Umkehrfunktion ist nun diejenige Funktion, die gerade das Umgekehrte macht. Also x=7 auf y=1 abbilden. Das hast Du schon, wenn Du in der Funktionsgleichung einfach x und y vertauscht: x=2y+5. Hier gehört jetzt x=1 zu y=7. Allein durch das Vertauschen ist die Umkehrfunktion entstanden.

Meist möchte man eine Funktionsgleichung aber in der expliziten Form (y links vom Gleichheitszeichen und rechts irgendein Ausdruck mit x) haben. Daher muß man dann noch entsprechend auflösen: y=(1/2)x-(5/2).

Das Auflösen besteht nur aus Äquivalenzumformungen. Es ändert nichts an den xy-Wertepaaren. Daher ist es für die Bildung der Umkehrfunktion eigentlich unerheblich: Es bleibt dieselbe Funktion.

Also nochmal: Die Umkehrfunktion entsteht allein durch Vertauschen der Variablen. Das entspricht geometrisch der Spiegelung des Graphen an der ersten Winkelhalbierenden. Das Auflösen ist nur ein add-on aus Schönheitsgründen.

Gruß, mike
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 02 Okt 2010 - 23:11:08    Titel:

nele&paul hat folgendes geschrieben:

aber ich weiß einfach nicht,
wie ich die umkehrfunktion von y=sqrt(25-4x²) bilden soll


M_Hammer_Kruse hat folgendes geschrieben:


Also nochmal: Die Umkehrfunktion entsteht allein durch Vertauschen der Variablen.
Das entspricht geometrisch der Spiegelung des Graphen an der ersten Winkelhalbierenden.

Das Auflösen ist nur ein add-on aus Schönheitsgründen.

Gruß, mike

hi mike:
y=sqrt(25-4x²) sind ja die Punkte auf einer Halb-Ellipse (Punkte oberhalb der x-Achse)
.. zu jedem x aus [-2,5/+2,5] gibt es genau ein y .. du hast damit wirklich eine Funktion..

wenn du dieses Bildchen dann spiegelst an y=x .. dann bekommst du neu beim Spiegelbild
zu jedem x aus [0/5] zwei y-Werte Very Happy

da solltest du den beiden nele&paul vielleicht noch erklären,
wieso das dann eine (Umkehr-)Funktion sein soll.. Cool


nebenbei:
wie verstehst/interpretierst du die verbale Verstopfung von -stopfkind- :
"musste nichtmal die umkehrfunktion kann ja auch g(y) heißen oder x(y)"
Shocked
nele&paul
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Anmeldungsdatum: 02.10.2010
Beiträge: 5

BeitragVerfasst am: 03 Okt 2010 - 12:21:26    Titel:

also zu der sache mit der ableitung.. ich muss ja die definitonsmenge nennen und wir haben das im unterricht immer so gemacht, dass wir die ableitung gebildet haben und wenn diese ableitung dann an irgendeiner stelle 0 ergibt, ist die funktion nur teilweise umkehrbar...
also bei sqrt(25-4x²) wäre die ableitung dann ja
F'(x)= 8x/2*sqrt(25-4x²)
ähhhmm und ja.. unter der wurzel darf ja keine negative zahl rauskommen, dann ist der definitionsbereich doch [0;2] oder???
und dann zur umkehrfunktion..
x=sqrt(25-4y²)
x²=25-4y²
4y²=25-x²
y²=6,25-x²/4
y=sqrt(6,25-x²/4)
ist das richtig???
und dann kann man ja die wertemenge aufstellen.. die da wäre (0;5) oder????
kann mir irgendwer sagen, ob das richtig ist oder ob ich total daneben liege und wenn ja, was ich alles falsch gemacht habe??
ach und herzlichen dank für all die antworten Very Happy
liebe grüße
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 7024
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 03 Okt 2010 - 16:32:15    Titel:

Zitat:
hi mike:
y=sqrt(25-4x²) sind ja die Punkte auf einer Halb-Ellipse (Punkte oberhalb der x-Achse)
.. zu jedem x aus [-2,5/+2,5] gibt es genau ein y .. du hast damit wirklich eine Funktion..

wenn du dieses Bildchen dann spiegelst an y=x .. dann bekommst du neu beim Spiegelbild
zu jedem x aus [0/5] zwei y-Werte


Ich glaube, das hat der zwillingshafte (oder persönlichkeitsgepaltene?) Fragesteller schon begriffen: Wenn die Ableitung irgendwo null ist, dann ist die Funktion nur stückweise umkehrbar. Darum hatte ich nachgefragt, wie die Ableitung weiterhilft.

Das ist hier auch der Fall. Bei (0|5) hat die Ausgangsfunktion einen Hochpunkt. Daher kann man sie nur im Bereich x=0..2,5 umkehren oder im Bereich x=-2,5..0.

Und zum -stopfkind-: Ich habe

Zitat:
"musste nichtmal die umkehrfunktion kann ja auch g(y) heißen oder x(y)"
lediglich als orthographische und grammatikalische Schlampigkeit verstanden. Ganze Sätze (Subjekt und Prädikat), Großschreibung und Zeichensetzung sind ja heute nicht mehr jedermanns Sache.

Ich vermute, es war (in aktueller Rechtschreibung, die ich durchaus auch beherrsche, aber nicht verwende) gemeint: "Das musst du nicht einmal. Die Umkehrfunktion kann ja auch g(y) heißen oder x(y)."

Also keine Verstopfung, sondern nur Krümelkacke statt konsistenter, zusammenhängender Abführung.

Gruß, mike
-stopfkind-
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Anmeldungsdatum: 27.02.2010
Beiträge: 1958

BeitragVerfasst am: 03 Okt 2010 - 17:09:40    Titel:

mathefan hat folgendes geschrieben:

nebenbei:
wie verstehst/interpretierst du die verbale Verstopfung von -stopfkind- :
"musste nichtmal die umkehrfunktion kann ja auch g(y) heißen oder x(y)"
Shocked


ja sorry fehlt ein komma. mein gott...
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 03 Okt 2010 - 17:52:50    Titel:

nele&paul hat folgendes geschrieben:


also bei ?? sqrt(25-4x²) wäre die ableitung dann ja
F'(x)= 8x/2*sqrt(25-4x²) ... nein.. (Vorzeichenfehler!)


ähhhmm und ja.. unter der wurzel darf ja keine negative zahl rauskommen, ja
dann ist der definitionsbereich doch [0;2] oder??? nein , völlig falsch


y=sqrt(25-4x²)


und dann zur umkehrfunktion.. wovon?.
.siehe oben: lies den Beitrag von M_Hammer_Kruse halt mal genau durch..
x=sqrt(25-4y²)
x²=25-4y²
4y²=25-x²
y²=6,25-x²/4
y=sqrt(6,25-x²/4)
ist das richtig??? (was soll denn das nun sein?)


und dann kann man ja die wertemenge aufstellen..
die da wäre (0;5) oder???? nein

kann mir irgendwer Shocked sagen,

ob ich total daneben liege machst du das im Liegen?




nebenbei:
-stopfkind- hat folgendes geschrieben:

ja sorry fehlt ein komma. mein gott... Cool


na ja, so devotional brauchst du UNS ja nicht gleich vereehren.. Very Happy
.
nele&paul
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Anmeldungsdatum: 02.10.2010
Beiträge: 5

BeitragVerfasst am: 04 Okt 2010 - 14:41:29    Titel:

sooo
1. nele&paul ist ein buch... (ich bin weder eine multiple persönlichkeit noch sonst irgendwas)
2. zum mathefan:
ja, der definitionsbereich war falsch
aber die umkehrfunktion, die ich aufgestellt habe, war richtig..
also bitte.. da brauchst du mich auch nicht gleich beleidigen mit deinem machst du das im liegen..
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