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Matrix diagonalisieren
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Physikus
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Anmeldungsdatum: 15.09.2004
Beiträge: 1754
Wohnort: Bielefeld

BeitragVerfasst am: 09 Jun 2005 - 22:29:46    Titel: Matrix diagonalisieren

Nach langer Zeit habe ich mal wieder ein Problem, das bei der Vorbereitung auf einen Seminarvortrag (in Physik, nicht Mathe) aufgetaucht ist: Wie diagonalisiert man eine Matrix, deren Einträge keine Zahlen, sondern selbst Matrizen sind? Kann man da auch ganz normal das char. Polynom aufstellen, deren Nullstellen die Eigenwerte sind, oder geht das so nicht? Konkret hat der Prof in seinem Forschungsartikel (geht um Mischung von Neutrinos, ist aber nicht so wichtig) eine Matrix der Form

[[0,m],[m^T,M]] (T: transponiert; [...] bezeichnet je eine Zeile der Matrix),

wobei m und M selbst 2x2-Matrizen sind. Als Eigenwerte gibt er M und m*M^-1*m^T an, aber ich weiß nicht, wie man darauf kommen soll-wenn ich versuche ganz normal das char. Polynom aufzustellen, erhalte ich als Gleichung (l: Eigenwert bzw. eigentlich 2x2-Eigenmatrix)

l*(l-M) - m*m^T = 0,

und die Lösungen sind doch wohl nicht l = M (das ergäbe ja z.B. m*m^T = 0) und l = m*M^-1*m^T. Also muss das wohl irgendwie anders gehen-aber wie? Sad (Fragen könnte ich ihn erst nächste Woche, weil er nicht da ist-außerdem wäre es mir peinlich, sowas nicht verstanden zu haben.)
Fermat
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Anmeldungsdatum: 29.05.2005
Beiträge: 33

BeitragVerfasst am: 10 Jun 2005 - 00:02:33    Titel:

Du kannst die Matrix aus Matrizen einfach als "Riesenmatrix" hinschreiben und dann ganz normal rechnen.

Wenn also z.B. Deine gegebene Matrix eine nxn Matrix ist, deren n² Elemente mxm Matrizen sind, bekommst Du eine n*m x n*m Riesenmatrix mit n²m² Elementen. Die kannst Du dann wie gewohnt transponieren, diagonalisieren oder was auch immer.

Fermat
DMoshage
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Anmeldungsdatum: 31.03.2005
Beiträge: 691

BeitragVerfasst am: 10 Jun 2005 - 09:45:40    Titel:

Hallo Physikus,

du kannst das auch mit Matrizen rechen. Nur kannst du nicht einfach das charakteristische Polynom nach der Formel aufstellen, da du die Rechenregel von Matrizen beachten musst.

Folgender Ansatz:

Code:
(A-λE)*x = 0
         
| -λ   m  |*|x1| 
| mt  M-λ | |x2| 


-λ x1 +   m x2   = 0
mt x1 + (M-λ) x2 = 0

Um das Einsetzungsverfahren anzuwenden muss man z.B.die  1. Gleichung nach x2 auflösen.
Annahme m invertierbar

-λ x1 +   m x2   = 0  | m^-1*   (von links mit m^-1 multiplizieren)
-m^-1 λ x1 +  x2   = 0 
x2 = m^-1 λ x1

Einsetzen in die 2. Gleichung

mt x1 + (M-λ) m^-1 λ x1 = 0
mt + (M-λ) m^-1 λ = 0


In der Regel kommen jetzt Eigenschaften der einzelnen Matrizen zu Anwendung. z.B. mt = m^-1 .

Damit erhält man
mt + (M-λ) mt λ = 0

Ich seh zwar immer noch nicht warum M eine Lösung der Gleichung wäre. Dann kommt schliesslich mt=0 raus.
Vielleicht habe ich mich auch nur verrechnet.

Ich hoffe das hilft dir weiter.

Gruß
Dirk
DMoshage
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Anmeldungsdatum: 31.03.2005
Beiträge: 691

BeitragVerfasst am: 10 Jun 2005 - 09:47:24    Titel:

Fermat hat folgendes geschrieben:
Du kannst die Matrix aus Matrizen einfach als "Riesenmatrix" hinschreiben und dann ganz normal rechnen.

Wenn also z.B. Deine gegebene Matrix eine nxn Matrix ist, deren n² Elemente mxm Matrizen sind, bekommst Du eine n*m x n*m Riesenmatrix mit n²m² Elementen. Die kannst Du dann wie gewohnt transponieren, diagonalisieren oder was auch immer.

Fermat


Diese Lösung funktioniert hier nicht, da als Lösung ja vollbesetze Matrizen rauskommen sollen. Der beschriebene Ansatz würde nur Diagonalmatrizen liefern.

Gruß
Dirk
Physikus
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Anmeldungsdatum: 15.09.2004
Beiträge: 1754
Wohnort: Bielefeld

BeitragVerfasst am: 10 Jun 2005 - 19:24:39    Titel:

Danke für die Bemühungen, aber mittlerweile hab ich rausgefunden, wie er auf die Werte kommt: da steckt die Näherung drin, dass die Einträge von M viel größer sind als die von m und man dann eine Taylorentwicklung nach mM^-1 machen kann. (sogenannter seesaw-Mechanismus) Hätte ich das nicht in einem Buch über Neutrinophysik gefunden, wäre ich da wahrscheinlich gar nicht darauf gekommen, dass da genähert wurde-obwohl eigentlich von der physikalischen Fragestellung klar sein sollte, dass da sowas eingehen muss. Embarassed
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