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Was sagt mir die Amplitude in FFT
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anpoit00
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Anmeldungsdatum: 02.07.2008
Beiträge: 19

BeitragVerfasst am: 31 Okt 2010 - 17:18:09    Titel: Was sagt mir die Amplitude in FFT

So, da ich ein Ing.-Studium lange hinter mir habe, musste ich kurz meine Kenntnisse auffrischen. Kann mir jemand sagen, welche physikalische Bedeutung die Amplitude in freq. Bereich hat?

Vielen Dank
entity
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Anmeldungsdatum: 31.12.2005
Beiträge: 51

BeitragVerfasst am: 31 Okt 2010 - 19:53:37    Titel:

Die Einheit des Amplitudendichtespektrum abs(x(w)) ist Volt / Hz.

Die Einheit des Leistungsdichtespektrums abs(x(w))^2 ist Volt^2 / Hertz, das ist proportional zur Leistung / Hz. Integriert man nun das Spektrum über einen Bereich den das Signal "belegt", so erhält man die Energie des Signals.
ingu
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Anmeldungsdatum: 18.02.2006
Beiträge: 1003

BeitragVerfasst am: 31 Okt 2010 - 20:04:03    Titel:

hallo,

im Frequenzbereich hast du entweder ein Amplitudenspektrum oder ein Amplitudendichtespektrum - zwei unterschiedliche Sachen, die (leider) gerne in einen Topf geworfen werden.

Es gilt ja folgender Zusammenhang zwischen dem Signal im Zeitbereich und dem Spektrum im Frequenzbereich:
Ein (zeit-)periodisches Signal ergibt ein diskretes Spektrum und ein (zeit-)diskretes Signal ein periodisches Spektrum und jeweils umgekehrt - oder tabellarisch
Code:
Zeitbereich                     Frequenzbereich               Transformation

kontinuierlich, periodisch      diskret, aperiodisch          Fourier-Analyse
kontinuierlich, aperiodisch     kontinuierlich, aperiodisch   Fourier-Transformation
diskret, aperiodisch            kontinuierlich, periodisch    DTFT
diskret, periodisch             diskret, periodisch           DFT


Nehmen wir exemplarisch ein kontinuierliches, periodisches Signal und berechnen das Amplitudenspektrum durch eine Fourier-Reihe (bzw. Analyse). Die Fourier-Reihe ist nichts anderes als eine Summe von Cosinus-/Sinus-Termen unterschiedlicher Frequenz. Das bedeutet, dass man das Zeitsignal als Überlagerung von Cosinus-/Sinus-Schwingungen mit der entsprechenden Frequenz und Amplitude direkt nachbilden kann. Die Summe kann zwar aus unendlich vielen Summanden bestehen, aber alle Summanden lassen sich als diskrete Amplitudenwerte über der Frequenz auftagen. D. h. aus diesem Spektrum liest man die Amplitude (in V) ab, die die entsprechende Schwingung hat.

Als zweites betrachten wir ein kontinuierliches, nicht periodisches Signal. Wollte man hiervon eine Fourier-Reihe berechnen, so ginge die Periodendauer des Signals gegen Unendlich. Für das Spektrum bedeutet das, dass die einzelnen ehemals diskreten Frequenzwerte, die im Abstand Δf = 1/ΔT aufgetragen waren, infinitesimal nah zusammenrücken - das diskrete Spektrum wird kontinuierlich. Mathematisch wird aus der Summe ein Integral.
Und ganz wichtig: durch diesen Grenzübergang ist es nicht mehr möglich, die Amplitude (Einheit V!) einer Frequenz anzugeben. Denn überleg dir, wenn das Signal aus unendlich vielen Einzelschwingungen besteht, die alle eine bestimmte Amplitude haben, und dieses Signal treibt für eine bestimmte Zeit einen bestimmten Strom, so ginge die Energie gegen Unendlich. Da die Energie begrenzt ist und sich doch auf unendlich viele Einzelschwingungen aufteilen muss, geht die Amplitude der einezelnen Schwingungen gegen null. Daher hat es keinen Sinn, für aperiodische Signale ein Amplitudenspektrum anzugeben.
Man kann nur ein Amplitudendichtespektrum angeben (-> Fourier-Transformation): Man trägt die Amplitudendichte - also Amplitude bezogen auf Frequenz - mit der Einheit [U]/[f] = V/(1/s) = Vs über der Freuquenz auf.
Aus diesem Spektrum kann man dann z. B. folgedes ablesen: Die Sinusschwingungen mit einer Frequenz zwischen ω0 und ω1 haben eine Amplitude von U =∫ F(ω) dω integriert von ω0 bis ω1.

Ich hoffe, das war jetzt verständlich und nicht zu ausführlich Smile
ingu

Edit: da hab ich wohl zu langsam getippt... naja, noch zur Ergänzung^^
anpoit00
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Anmeldungsdatum: 02.07.2008
Beiträge: 19

BeitragVerfasst am: 01 Nov 2010 - 09:15:11    Titel:

Super vielen Dank
motzrotz
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Anmeldungsdatum: 15.03.2011
Beiträge: 1

BeitragVerfasst am: 15 März 2011 - 18:17:03    Titel:

Hallo zusammen,

ich bin gerade auf Eure Beiträge gestoßen, weil ich vor einem ähnlichen Problem stehe: Ich habe eine Reihe von verrauschten Messdaten (Einheit Volt, fs=32768), in denen einzelne monofrequente aber vorübergehende Komponenten sind, die im Frequenzbereich 5-6kHz liegen. Um zeitabhängig den SNR zu bestimmen, habe ich mir in Matlab erstmal ein Spektrogram gebautm, weil ich nicht die vorgefertigte Funktion nutzen wollte (ums besser zu verstehen). Nun hacke ich meinen Zeitschrieb (300s) in 1s-Abschnitte und mache damit eine FFT: (Pseudo-Code, ohne Fensterung)

y=datenvektor; % Also nur der 1s-Ausschnitt
fs=2^15;
blocklaenge=length(y);
Nfft=2^15;
Y=2*abs(fft(y,Nfft))/L;

Ich habe also eine Auflösung von 1Hz im Frequenzbereich und 1s im Zeitbereich.

Meine Frage ist nun: Welche Einheit hat nun meine Fourier-Transformierte? Ist in diesem Fall Amplitudenspektrum zahlenwertmäßig gleich Amplitudendichtespektrums?

Vielen Dank im Voraus,

motzrotz
xeraniad
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Anmeldungsdatum: 29.01.2008
Beiträge: 1889
Wohnort: Atlantis

BeitragVerfasst am: 16 März 2011 - 08:07:46    Titel: DFT Dimension

Wie ingu damals erwähnte, erhalten die von einer diskreten Fourier-Transformation DFT (bzw. FFT) gelieferten komplexen Fourier-Koeffizienten [; {\underline{c}}_k \ = \ \frac{1}{N} \cdot \sum_{n=0}^{N-1} f_n \cdot \mathrm{e}^{-\mathrm{j}\cdot k \cdot n \cdot \frac{2 \cdot \pi}{N}} ;] und damit auch die Amplituden [; 2 \cdot |{\underline{c}}_k| ;] die gleiche Dimension wie die abgetastete Zeitfunktion [; f(t) ;] (hier V).
Die diskrete Fourier-Transformation ergibt ein Amplitudenspektrum, aber kein Amplitudendichtespektrum (dies würde, wie ingu erwähnte, die kontinuierliche Fourier-Transformation leisten).
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