Studium, Ausbildung und Beruf
 StudiumHome   FAQFAQ   RegelnRegeln   SuchenSuchen    RegistrierenRegistrieren   LoginLogin

Summe Binomische Formel?
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Summe Binomische Formel?
 
Autor Nachricht
habeinefrage
Full Member
Benutzer-Profile anzeigen
Full Member


Anmeldungsdatum: 04.06.2005
Beiträge: 197

BeitragVerfasst am: 10 Jun 2005 - 20:58:21    Titel: Summe Binomische Formel?

Hallo,
ich brauche dringend eine Erklärung (Schritt für Schritt) wie ich folgende Aufgabe lösen kann

Summe von k=0 bis n von k*(n über k) = n*2^(n-1)

es hat irgendwas mit einer binomischen Formel zu tun aber ich kab keine Ahnung wo ich ansetzten soll.Ich brauche ein Erklärung Schritt für Schritt.
tvangeste
Junior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Junior Member


Anmeldungsdatum: 14.03.2005
Beiträge: 94
Wohnort: Schweiz

BeitragVerfasst am: 11 Jun 2005 - 10:31:22    Titel:

Also

summe(n*1*2^(n-1))= summe(n) * summe(1* 2^(n-1))

summe(1*2^(n-1)) ist eine geometrische reihe ,(summe(a1*q^(n-1))), demnach gleich:


a1*(q^n-1)/(q-1)=1 -> bei deinen Zahlen: 1*(2^n-1)/(2-1) macht das 2^n-1.

summe(n) ist ja 1+2+3+4+5+6... das ergibt also: (1+n)/2*n

somit is die Lösung: (1+n)*n/2*(2^n-1), nun musst du nur noch n einsetzen.

Beweis der geometrischen reihe:

Wine geometrische Reihe sieht so aus:

sn=a1+q*a1+q^2*a1+q^4*a1...+q^n*a1

Nun rechnet man sn*q und zählt dieses von sn ab:

sn =a1+q*a1+q^2*a1+q^4*a1...+q^n*a1
sn*q=a1*q+a1*q^2+a1*q^3.........+q^(n+1)*a1

nun ergibt das:

(sn-q*sn)=(a1-q^n*a1)

Durch umformen ergibt das:

sn(1-q)=a1(1-q^n)

demnach ist sn=a1*(1-q^n)/(1-q)=a1*(q^n-1)/(q-1)
habeinefrage
Full Member
Benutzer-Profile anzeigen
Full Member


Anmeldungsdatum: 04.06.2005
Beiträge: 197

BeitragVerfasst am: 11 Jun 2005 - 10:48:23    Titel: was ist mit dem Binomialkoeffizienten passiert?

ich verstehe den Zusammenhang zwischen der Aufgabenstellung und deiner Lösung nicht.Was ist mit dem Binomialkoeffizienten passiert?
Wie hast du sie umgeformt??
habeinefrage
Full Member
Benutzer-Profile anzeigen
Full Member


Anmeldungsdatum: 04.06.2005
Beiträge: 197

BeitragVerfasst am: 11 Jun 2005 - 10:51:31    Titel: Summe von rechts nach links

Wieso hast du die Summe von rechts nach links gebracht?
tvangeste
Junior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Junior Member


Anmeldungsdatum: 14.03.2005
Beiträge: 94
Wohnort: Schweiz

BeitragVerfasst am: 11 Jun 2005 - 13:29:32    Titel:

Jetzt bin ich nicht mehr sicher, ob ich deine fragestellung richtig verstanden habe:

Ist deine Aufgabe folgende:

Summe(n*1*2^(n-1)) von k=0 bis n?

dann hat das nichts mit Binomen zu tun sondern mit geometrischen bzw. aritmethischen Reihen.
habeinefrage
Full Member
Benutzer-Profile anzeigen
Full Member


Anmeldungsdatum: 04.06.2005
Beiträge: 197

BeitragVerfasst am: 11 Jun 2005 - 14:11:11    Titel:

es muss etwas mit binomen zu tun haben.Es kann nicht mit Reihen zu tun haben.
Die Aufgabe lautet:

Summe von k *(n über k) <= Binomialkoeffizient
= n*2^(n-1)

ich muss jetzt irgendwie die linke Seite als Binomische Formel schreiben (glab ich) aber ich weis nicht wie.
wild_and_cool
Moderator
Benutzer-Profile anzeigen
Moderator


Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 13 Jun 2005 - 12:38:03    Titel:

Also Deine Aufgabe steht so wie Du sie geschrieben hast auch in jeder Formelsammlung unter Folgen und Reihen.

(n über k) nennt sich auch Binominalkoeffizient.

Zum Beispiel 2^6 = Summe[k=0 bis 6] [(6 über k)]

Also 2^n = Summe[k=0 bis n] [(n über k)]

Zitat:
ich muss jetzt irgendwie die linke Seite als Binomische Formel schreiben (glab ich) aber ich weis nicht wie


Nehmen wir doch einfach mal Deine Summe auseinander:

Summe[k=0..n]{ k *(n über k) } = 0 * (n über 0) + 1 * (n über 1) + 2 * (n über 2) + 3 * (n über 3) + ... + n * (n über n)

Damit haben wir aus Deiner Summe eine Reihe gemacht.

Zitat:
es muss etwas mit binomen zu tun haben.Es kann nicht mit Reihen zu tun haben.


Jetzt schauen wir uns mal den Binominalkoeffizienten genauer an:

(n über k) = n! / [ (n-k)! * k! ] = n(n-1)...(n-k+1) / k!

Also für k=0:
(n über 0) = 1
Also für k=1:
(n über 1) = n
Also für k=2:
(n über 2) = n(n-1) / 2 = (1/2) * (n² - n) = (1/2)*n² - (1/2)*n
Also für k=3:
(n über 3) = n(n-1)(n-2) / 6 = (1/6) * [(n² - n)(n-2)] = (1/6) * [n³ - 2*n² - n² + 2*n] = (1/6)*n³ - (1/2)*n² + (1/3)*n
Also für k=n:
(n über n) = 1

Setzen wir das jetzt alles wieder zusammen:
0 * 1 + 1 * n + 2 * (1/2)*n² - 2 * (1/2)*n + 3 * (1/6)*n³ - 3 * (1/2)*n² + 3 * (1/3)*n + ... + n * 1

Oder wieder allgemein:
n + n(n-1) + (1/6) * n(n-1)(n-2) + ... + n

Jetzt versteh ich aber auch nicht ganz was Du da noch machen sollst...
dasjojo1989
Newbie
Benutzer-Profile anzeigen
Newbie


Anmeldungsdatum: 14.07.2012
Beiträge: 1

BeitragVerfasst am: 14 Jul 2012 - 10:18:46    Titel:

Summe (k=0 bis n) ( k * (n über k) ) | da bei k=0 die ganze Summe 0 ist
= Summe (k=1 bis n) (k * (n über k) ) | (n über k) ausgeschrieben
= Summe (k=1 bis n) (k * n! / (k! * (n-k)!) ) ) | k kürzen, n aus n! raus
= Summe (k=1 bis n) (n * (n-1)! / ( (k-1)! * (n-k+1-1)! ) ) | n aus Summe raus
= n * Summe (k=1 bis n) ( (n-1)! / ( (k-1)! * ((n-1)-(k-1))! ) ) | wieder als Binominalkoeffizient schreiben
= n * Summe (k=1 bis n) ( (n-1) über (k-1) ) | Summe verschieben
= n * Summe (k=0 bis n-1) ( (n-1) über k ) | diese Summe ist bekannt -> Formelsammlung oder Wiki
= n * 2^(n-1)

ganz einfach ohne Reihen, nur durch umformen...

aber kann das ganze auch jemand mit k²?

LG Jojo
Beiträge der letzten Zeit anzeigen:   
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Summe Binomische Formel?
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen Alle Zeiten sind GMT + 1 Stunde
Seite 1 von 1

 
Gehe zu:  
Du kannst keine Beiträge in dieses Forum schreiben.
Du kannst auf Beiträge in diesem Forum nicht antworten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht bearbeiten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht löschen.
Du kannst an Umfragen in diesem Forum nicht mitmachen.

Chat :: Nachrichten:: Lexikon :: Bücher :: Impressum