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schwingungsdifferentialgleichung
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Foren-Übersicht -> Physik-Forum -> schwingungsdifferentialgleichung
 
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ebitda123
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Anmeldungsdatum: 17.10.2010
Beiträge: 42

BeitragVerfasst am: 27 Nov 2010 - 16:14:27    Titel: schwingungsdifferentialgleichung

folgende frage:

man kann doch zwischen der kraft f und der auslenkung y einen zusammenhang nach dieser formel herstellen:

c=F/y

dabei ist doch c konstant.

nun ist meine frage, wie man dabei die schwingungsdifferentialgleichung ableiten kann. bzw was ist das überhaupt?
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8197
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BeitragVerfasst am: 27 Nov 2010 - 16:21:09    Titel:

Zu F/y=c (oder: F=c*y) kommt noch die Newtonsche Grundgleichung F=m*a hinzu.

Nun ist die Beschleunigung a die zweite Ableitung des Weges (hier mit y bezeichnet) nach der Zeit t. Also kannst Du die Newton-Gleichung auch als F=m*d²y/dt² schreiben.

Die erste Gleichung schreibst Du allerdings besser als F=-c*y, weil die Kraft F ja immer in die entgegengesetzte Richtung der Auslenkung y zeigt.

Dann bekommst Du durch Gleichsetzen von F=-c*y und F=m*d²y/dt² die Gleichung:
-c*y=m*d²y/dt² oder d²y/dt²+(c/m)*y=0.

Das ist eine Schwingungsdifferentialgleichung. Sie beschreibt also eine zeitlich veränderliche Funktion y(t), bei der die zweite Ableitung d²y/dt² entgegengesetzt proportional zut Auslenkung y ist.

Gruß, mike
ebitda123
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Anmeldungsdatum: 17.10.2010
Beiträge: 42

BeitragVerfasst am: 27 Nov 2010 - 16:40:45    Titel:

M_Hammer_Kruse hat folgendes geschrieben:


Die erste Gleichung schreibst Du allerdings besser als F=-c*y, weil die Kraft F ja immer in die entgegengesetzte Richtung der Auslenkung y zeigt.



vielen dank. ist sehr gut erklärt. allerdings stellen sich mir noch ein paar fragen. wenn ich beispielsweise einen federschwinger (also eine normale feder) habe und daran ein massestück befestige wirkt die kraft doch mit

F=m*a

ich hätte gedacht die kraft wirkt dann nach unten. also in richtung des erdmittelpunkts?
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8197
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 27 Nov 2010 - 16:46:37    Titel:

Nein, das Gewicht zieht nach unten und dehnt damit die Feder ein wenig. Solange Du den Federschwinger nicht anstößt, hängt er so im Ruhezustand. Dann kompensiert der Zg der Feder nach oben gerade das Gewicht.

Wenn Du ihn aus dieser Ruhelage um eine Strecke -y auslenkst , also nach unten, dann zieht ihn die Feder mit einer zusätzlichen Kraft F nach oben.

Wenn du ihn nach oben (also positives y) auslenkst, dann schiebst du die Feder gegenüber der Ruhelage zusammen. Sie kompensiert dann nicht mehr das ganze Gewicht. Was dann als Rückstellkraft wirkt, ist der Überschuß des Gewichts über den verminderten Federzug. Und dieser Überschuß zieht nach unten. Also wieder entgegen der Auslenkung aus der Ruhelage.

Gruß, mike
ebitda123
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Anmeldungsdatum: 17.10.2010
Beiträge: 42

BeitragVerfasst am: 27 Nov 2010 - 17:01:20    Titel:

ok. also wenn ich praktisch die gleichungen gleich setze.

-c*y=m*d²y/dt², dann ist das system im gleichgewicht. bewegt sich also nciht.

was wäre dann eine lösung von dieser gleichung
sm00ther
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Anmeldungsdatum: 27.01.2008
Beiträge: 4451

BeitragVerfasst am: 27 Nov 2010 - 17:07:27    Titel:

Hi orpheus,
die Lösung kannst du ausrechnen, indem du die DGL löst.

Du weißt, wie man Differentialgleichungen löst?

Gruß
ebitda123
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Anmeldungsdatum: 17.10.2010
Beiträge: 42

BeitragVerfasst am: 27 Nov 2010 - 17:15:15    Titel:

geb mir mal bitte einen denkanstoß.

aber wenn ich jetzt so recherchiere. ich glaube nicht. kannst du mir das so erklären oder wird dies aufwendig?
M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8197
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 27 Nov 2010 - 17:22:29    Titel:

Jede Funktion y(t), welche die Dgl. erfüllt, beschreibt ein mögliches Verhalten des Schwingers. Die einfachste ist y(t)=0 für alle t. Also keine Auslenkung für alle Zeit: Ruhezustand. Dann ist auch die zweite Ableitung null und die Dgl. erfüllt. Aber diese triviale Lösung ist weniger interessant.

Interessanter ist, was sonst noch alles geschehen kann: Jede Funktion y(t)=A*sin(ωt+φ) erfüllt die Dgl.
Dabei ist A eine beliebige Konstante (Amplitude der Schwingung).
ω ist die Kreisfrequenz der Schwingung und hat den Wert √(c/m).
φ ist wieder eine beliebige Konstante und heißt Phasenwinkel.
(Probe durch Einsetzen.)

Gruß, mike
ebitda123
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Anmeldungsdatum: 17.10.2010
Beiträge: 42

BeitragVerfasst am: 27 Nov 2010 - 17:35:20    Titel:

also:

eine differentialgleichung gibt mir aufschluss über die beziehungen zwischen ableitungen und ableitungen oder ableitungen und zahlen.

also beispielsweise.

y'=2

dann weiß ich also dass die erste ableitung 2 ist.
y'=y'' hier weiß ich nun, dass die erste ableitung gleich der zweiten ist.
würde also auf die e-funktion zutreffen.

zu diesem fall: wenn ich es umstelle erhalte ich die gleichung

y=-(m*y'')/c

wie ich hier nun auf eine lösung komme weiß ich leider nicht.
ebitda123
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Anmeldungsdatum: 17.10.2010
Beiträge: 42

BeitragVerfasst am: 27 Nov 2010 - 17:35:20    Titel:

ich suche also die zweite ableitung von y, die multiplieziert und mit c dann dividiert mir einen y wert liefert.

also meine auslenkung der feder?
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