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schwingungsdifferentialgleichung
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M_Hammer_Kruse
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Anmeldungsdatum: 06.03.2006
Beiträge: 8241
Wohnort: Kiel

BeitragVerfasst am: 27 Nov 2010 - 16:38:31    Titel:

Jede Funktion y(t), welche die Dgl. erfüllt, beschreibt ein mögliches Verhalten des Schwingers. Die einfachste ist y(t)=0 für alle t. Also keine Auslenkung für alle Zeit: Ruhezustand. Dann ist auch die zweite Ableitung null und die Dgl. ist erfüllt. Aber diese triviale Lösung ist weniger interessant.

Interessanter ist, was sonst noch alles geschehen kann: Jede Funktion y(t)=A*sin(ωt+φ) erfüllt die Dgl.
Dabei ist A eine beliebige Konstante (Amplitude der Schwingung).
ω ist die Kreisfrequenz der Schwingung und hat den Wert √(c/m).
φ ist wieder eine beliebige Konstante und heißt Phasenwinkel.
(Probe durch Einsetzen.)

Wie man darauf kommt? In Kurzform:

Es handelt sich um eine lineare homogene Dgl. zweiter Ordnung.
Solche Gleichungen löst man mit dem Ansatz y(t)=e^(λt). Dabei ist λ eine bis auf weiteres noch unbekannte Konstante.

Diesen Ansatz setzt man für y in die Dgl. ein und bekommt nach ein paar Umformungen die handliche Gleichung λ²+c/m=0.
Daraus bestimmt sich schon mal λ zu λ=±√(-c/m).
Man kann jetzt √(c/m) mit ω abkürzen und hat so zwei fundamentale Lösungen:
y(t)=e^(+iωt) und y=e^(-iωt). Dabei ist i=√(-1)

Nun muß bei einer linearen homogenen Dgl. auch jede Linearkombination von Lösungen wieder eine Lösung sein. Daher kann man aus den beiden Fundamentallösungen mit beliebigen Konstanten C und D neue Lösungen bilden und bekommt als allgemeine Lösung:
y(t)=C*e^(+iωt)+D*e^(-iωt).

Diese Funktion läßt sich - wieder mit ein wenig Rechnerei - im die oben angegebene Lösung y(t)=A*sin(ωt+φ) umformen.
Dabei muß man die beiden willkürlichen Konstanten C und D durch neue Konstanten A und φ ersetzen.
Die "Übersetzungsformeln" won C und D in A und φ habe ich allerdings nicht im Kopf. Die ergeben sich aus den allgemeingültigen Beziehungen
sin(x)=(e^(ix)-e^(-ix))/2, cos(x)=(e^(ix)+e^(-ix))/2 und den Additionstheoremen für die Sinusfunktion.

Gruß, mike
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