Formel für die n-te Ableitung des arctan(x)

Rungo · Newbie Anmeldungsdatum: 17.10.2010 Beiträge: 33

Hallo zusammen

Momentan bin ich gerade daran eine Aufgabe zu lösen, für die ich leider eine Formel für die n-te Ableitung des arctan(x) benötige. Diese zu finden ist aber ziemlich mühsam und ich komme überhaupt auf keinen grünen Zweig. Was ich bisher versucht habe, ist dass ich arctan(x) ein paar mal abzuleiten und dann habe ich rausgefunden, dass im Nenner dieser expliziten Formel (x^2+1)^n stehen muss. Ausserdem hat das Zählerpolynom einen kleineren Grad als das Nennerpolynom...

Im Internet konnte ich auch nichts gescheites finden...

Könnt ihr mir weiterhelfen?

Liebe Grüsse
Rungo

Deniz · Senior Member Anmeldungsdatum: 08.07.2004 Beiträge: 2541

Versuche zu überlegen, wie die Ableitung allgemein aussehen könnte.
Beweisen kannst Du das dann mittels Induktion.

Rungo · Newbie Anmeldungsdatum: 17.10.2010 Beiträge: 33

Hallo Deniz

Merci für den Tipp, das habe ich bereits getan und dass man mittels Induktion beweisen kann ist ein guter Tipp, den ich auch sicher anwenden möchte, allerdings habe ich keinen blassen Schimmer, wie diese allgemeine Formel im Zähler aussehen soll, obwohl ich bereits ein paar mal abgeleitet habe und mir dann den Kopf darüber zerbrochen habe.

Liebe Grüsse
Rungo

Deniz · Senior Member Anmeldungsdatum: 08.07.2004 Beiträge: 2541

Wie sehen denn Deine 1. Zähler aus? Vielleicht finden wir was gemeinsam. Smile

Rungo · Newbie Anmeldungsdatum: 17.10.2010 Beiträge: 33

Also. Ich schreibe sie mal auf für die ersten paar Ableitungen: (Das sind nur die Zähler. Die Nenner sind von der Form (x^2+1)^n)

1
-2x
2(3x^2-1)
-24x(x^2-1)
24(5x^4-10x^2+1)
-240x(3x^4-10x^2+3)

Also. Hoffe, ich habe nichts falsch aufgeschrieben... Es muss sicher mal so etwas wie (-1)^(n-1) in "unserer" Formel stehen, damit das Minuszeichen stimmt.

M_Hammer_Kruse · Verfasst am: 29 Nov 2010 - 00:45:16 Titel:

Die höchsten Koeffizienten sind - abgesehen vom alternierenden Vorzeichen - die Fakultäten.

Wenn f_n(x) das Zählerpolynom der n. Ableitung ist, dann ist das Zählerpolynom der (n+1). Ableitung gegeben durch
f_(n+1)(x)=(1+x²)f_n'(x)-2nx*f_n(x).

Das ist erstmal eine Iterationsformel für die Zähler. Zu der gilt es, eine explizite Darstellung zu finden.

Beobachtung: Die Nullstellen der Zählerpolynome, soweit Du sie angegeben hast, sind tan(k*180°/n) für k=(-n/2+1) ... (n/2-1).

Das liefert als Vermutung: f_n(x)=(-1)^n*n!*Produkt (x-tan(k*180°/n)) für k=(-n/2+1) ... (n/2-1).
(Dabei durchläuft k das genannte Intervall mit der Schrittweite 1. Es nimmt für ungerades n halbzahlige Werte, für gerades n ganzzahlige Werte an.)

Gruß, mike
_________________
√∞≠≤≥±≈∫≡¼⅓½⅔¾∧∨¬∈⊂⊄∩∪∂
αβγδεηκλμνπρσφωΓΔΘΛΣ