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Diophantisches Problem
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Fermat
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Anmeldungsdatum: 29.05.2005
Beiträge: 33

BeitragVerfasst am: 11 Jun 2005 - 21:17:06    Titel: Diophantisches Problem

Unlängst stellte hier jemand folgende Aufgabe zur Diskussion (sinngemäß):

Gesucht sind die Paare natürlicher Zahlen x und y für die x²+y² durch xy+1 teilbar ist.

Zu lösen ist die Gleichung (x²+y²)/(xy+1)=z bzw.

(1) x²+y² = z+xyz mit x, y, z element N.

Man findet eine Lösung, wenn man die Summanden beider Seiten gleichsetzt.

(2) x² = z
(3) y² = xyz

Durch Einsetzen von (2) in (3) ergibt sich sofort y = x³. Zahlenpaare wie 1 und 1, 2 und 8, 3 und 27, 4 und 64 usw. lösen also unser Problem.

Nun ist die Gleichheit der einzelnen Summanden zwar eine hinreichende, aber keine notwendige Bedingung für die Lösung von Gleichung (1). (Aus a=c und b=d folgt a+b=c+d, aber aus a+b=c+d folgt natürlich nicht a=c und b=d.) D.h. es gibt vermutlich noch viel mehr Lösungen.

Wie findet man diese, oder wie zeigt man ggf., daß y=x³ die einzige Lösung ist?

Fermat
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 13 Jun 2005 - 13:54:42    Titel:

Die Aufgabe hatte ich gestellt.

Erstmal danke für deinen Lösungsansatz. :wink:

Ich hatte aber die Aufgabe falsche gestellt. Es muss heißen:

(x²+y²)/(xy-1)=k für x,y element N.



Meine Vermutung ist, dass k=5 ist. Dies konnte ich auch beweisen.
Die Lösung habe ich mitlerweile auch schon herausgefunden.

Trotzdem danke nochmal.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 13 Jun 2005 - 14:06:26    Titel:

Fermat diskutiert mit Gauss! Was kommt als nächstes? Smile
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 13 Jun 2005 - 14:09:44    Titel:

Fermat diskutiert mit Gauss! Was kommt als nächstes? Smile Mein ganzzahliger Constraint-Solver kann auch keine explizite Lösung des ersten Problems ausgeben. Ich weiß aber auch nicht genau, wie ich das Problem schön formulieren soll, denn

ex z x^2 + y^2 = z(1+xy)

nützt nichts und

ex x ex y ex z x^2 + y^2 = z(1+xy)

ist nicht linear quantifiziert. Wenn es Euch einfällt, wie man das Problem umformulieren muß, dann gebe ich das ein und wir sehen was rauskommt.
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 13 Jun 2005 - 14:26:37    Titel:

Mein Ansatz war:

x²+y²-kxy+k=0
<=>
x²-x(ky)+y²+k=0


Diese quadratische Gleichung hat zwei ganzzahlige Lösungen:
x und (y²+k)/x.

Wenn wir annehmen, dass x>y, dann ist

x'=(y²+k)/x < x (x+x'=ky)

Jetzt haben wir einen "fallenden" Algorithmus gefunden (also einer der eine Zahl immer kleiner macht, bis y=1 ist), dann ist die Diskriminante
x²-kx+1+k=0 => D=(k-2)²+8.

Dies ist für k=5 eine Quadratzahl (D=1).

Für die Lösungsfindung einfach nuch den Algorithmus umkehren.
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