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Integration einer Funktion
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hanseatica
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Anmeldungsdatum: 30.01.2005
Beiträge: 7

BeitragVerfasst am: 12 Jun 2005 - 14:16:07    Titel: Integration einer Funktion

Hallo,
kann mir jemand sagen was das Ergebnis von der folgenden Funktion ist und vor allem was der Trick dabei ist?!?

∫5x/e^(5/2)x^2

Sprich: Integral aus 5x geteilt durch e hoch 5 halbe x hoch 2

Vielen Dank

hanseatica
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Anmeldungsdatum: 08.06.2005
Beiträge: 8988

BeitragVerfasst am: 12 Jun 2005 - 17:22:33    Titel:

ich hab auf die schnelle auch keine lösung parat, aber der trick könnte sein, dass 5x die ableitung von (5/2)x² ist, so dass du ein integral der form

∫ f'(x) / exp(f(x)) dx

bekommst. dann kann man evtl. mit (-1) erweitern, um auf

- ∫ -5x * exp(-(5/2)x²) => ∫ f'(x) * exp(f(x)) dx

zu kommen. vielleicht kannst du mit dieser form mehr anfangen.

//edit: denke, dann substituierst du einfach u= -(5/2)x², du = -5x dx und erhälst als lösung exp(-(5/2)x²)

alles ohne gewähr!
hanseatica
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Anmeldungsdatum: 30.01.2005
Beiträge: 7

BeitragVerfasst am: 12 Jun 2005 - 19:03:15    Titel:

Hallo,
meine Überlegung (ich weiß halt nicht ob es erlaubt ist) ging dahin, zuerst Integration durch Substitution anzuwenden (wie Du) und dann den ganzen Therm über partielle Integration zu integrieren. Danach müsste ich die Substituion wieder Rückgängig machen. Ich weiß halt nur nicht, ob das erlaubt ist?!?
Ich stelle mir das so vor:

1.) Integration durch Substitution
∫5x/e^(5/2)x^2 dx

dx = dz/z'
z = 5/2x^2
z' = 5x

∫5x/e^z dz
5∫x/e^z dz

2.) Partielle Integration
f(x)=x
f'(x)=1

g(x)=e^-z
g'(x)=-e^-z

∫f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-∫f'(x)g(x)dz
=x*e^-z - ∫ 1*e^z dz
=x

Ergebnis wäre demnach 5x

Und genau an der Stelle komme ich nicht weiter, da ich ja kein z mehr für die Rücksubstitution habe, oder?!?

Gruß hanseatica
Whoooo
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Anmeldungsdatum: 08.06.2005
Beiträge: 8988

BeitragVerfasst am: 12 Jun 2005 - 19:43:17    Titel:

kann es sein, daß du am anfang bei der substitution was übersehen hast? ich denke, im substituierten integral sollte kein x mehr auftauchen, du hast noch die 5x da im nenner stehen. weiss nicht, ob das zulässig ist (ich mach immer alle x weg).
hanseatica
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Anmeldungsdatum: 30.01.2005
Beiträge: 7

BeitragVerfasst am: 12 Jun 2005 - 23:15:02    Titel:

Nicht unbedingt. Man kann z.B. die partielle Intgration auch mehrfach anwenden (bis halt alle x'e weg sind).

hanseatica
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