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identische Abbildung, Produkt von Abbildungen
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-sieglinde-
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Anmeldungsdatum: 24.10.2010
Beiträge: 6

BeitragVerfasst am: 04 Jan 2011 - 18:08:10    Titel: identische Abbildung, Produkt von Abbildungen

Gegeben sei die Funktion f:N -> N : x ->x². Gib zwei verschiedene Abbildungen g: N -> N und g': N -> N mit g o f = g' o f = idN an. Gibt es auch eine Abbildung h: N -> N mit f o h = idN.

Darf ich hier als g: x -> Wurzel (x) nehmen und für g': x -> x/x²? ... Die Zielmenge wäre dann ja aber für Wurzel(2) nicht in den natürlichen Zahlen, allerdings für alle x² wäre das ja hinfällig. Bei g' ist es das selbe Problem, 3/9 etc. ...

Ist es also in diesem Fall egal, dass ich gewisse Werte nicht in N darstellen kann, weil diese Werte ja sowieso bei g o f und g' o f nicht vorkommen?
Differentialgleichung
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Anmeldungsdatum: 01.01.2009
Beiträge: 757

BeitragVerfasst am: 04 Jan 2011 - 18:41:11    Titel:

dein g bildet nur die Werte von der Bildmenge von f weiter ab, also zB bildet g nicht 2 ab, da x² ungleich 2 für x aus N.

Dein g' ist auch falsch, denn damit würde zB 2 mit f auf 4 und mit g' auf 4/16 abgebildet werden. Du könntest stattdessen aber

g': Bildmenge von f-->N
x-->Wurzel |x| nehmen, da alle Werte in der Bildmenge von f positiv sind, ändert der Betrag nichts, aber g' ungleich g.
-sieglinde-
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Anmeldungsdatum: 24.10.2010
Beiträge: 6

BeitragVerfasst am: 04 Jan 2011 - 19:07:05    Titel:

Danke für die Antwort.

Eine Frage wäre noch dazu: Muss ich bei g' und g dann die Definitionmenge auf Bildmenge von f ändern oder ist das nicht egal, wenn ich da einfach N stehen lassen würde?
Schreibknecht
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Anmeldungsdatum: 16.10.2010
Beiträge: 187

BeitragVerfasst am: 04 Jan 2011 - 20:19:46    Titel:

Du musst das genau so machen, wie es in der Aufgabenstellung steht:
[;g:\, \mathbb{N}\mapsto \mathbb{N};], [;g':\, \mathbb{N}\mapsto \mathbb{N};]
d.h. sowohl Definitions- als auch Bildmenge müssen die natürlichen Zahlen sein.
Dementsprechend ist [;g(x)=\sqrt {x};] auch keine Lösung für diese Aufgabe, da z.B. [;\sqrt{2};] keine natürliche Zahl ist. Außerdem überlegt man sich leicht, dass g und g' auf der Bildmenge [;im(f)=f(\mathbb{N});] übereinstimmen müssen, da f injektiv ist.
Zuletzt ist [;\sqrt{|x|};] natürlich auf [;\mathbb{N};] keine andere Funktion als [;\sqrt{x};], schließlich stimmt sie in allen Funktionswerten überein. Dass der Ausdruck ein anderer ist, ist dabei völlig irrelevant.
Differentialgleichung
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Anmeldungsdatum: 01.01.2009
Beiträge: 757

BeitragVerfasst am: 04 Jan 2011 - 22:02:49    Titel:

oh, sry, hab iwie überlesen, dass an g die Bedingung gestellt war, dass der Defbereich N sein soll; dann kann mans höchstens stückweise def:

g(x)=sqrt x gdw es existiert ein n aus N mit n²=x
g(x)=x sonst

denn mit f(x) erhält man ja gerade die Quadratzahlen 1,4,9,16 usw, diese werden mit g wieder zurückabgebildet auf 1,2,3,4, ...

da hier nur Quadratzahlen auftauchen, wird also nur die erste Bedingung dafür benötigt, die 2. braucht man quasi nur, weil g eine Funktion sein soll, die auf ganz N def sein soll ... (g ist damit nicht injektiv)
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