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Beweis zu konvergenten Folgen
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Rungo
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Anmeldungsdatum: 17.10.2010
Beiträge: 33

BeitragVerfasst am: 06 Jan 2011 - 10:23:50    Titel: Beweis zu konvergenten Folgen

Hallo zusammen

Ich möchte folgendes beweisen: (Hinweis: alle lim sind lim_n-->unendlich)

Seien {x_n} und {y_n} zwei konvergente Folgen mit lim x_n =A und lim y_n =B. Gilg A<B, dann existiert ein N, so dass x_n < y_n für alle n>N.

Nun zu meinem Beweisversuch:

Definition des Grenzwertes: Für alle V(A) existiert ein N so dass für alle n>N gilt: x_n Element V(A).
V(A) ist eine Umgebung um A.

Wir wählen zwei Umgebungen um die Punkte A und B: V(A) und V(B), die wir so wählen, dass V(A) geschnitten mit V(B) die leere Menge ist. Für n>N_1 gilt x_n Element V(A) und für n>N_2 gilt y_n Element V(B). Wir wählen nun N=max{N_1,N_2}. Es gilt (nach Voraussetzung), dass A<B. Ausserdem gilt V(A) geschnitten mit V(B) = {}. Also gilt für alle n>N y_n>x_n.

Kann man das so beweisen und wenn nicht, warum nicht?

Liebe Grüsse
Rungo
Listing
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Anmeldungsdatum: 08.01.2007
Beiträge: 462

BeitragVerfasst am: 07 Jan 2011 - 13:55:31    Titel:

Sauberer wäre es so:

Du hast 2 Folgen xn und yn und sie konvergieren gegen A bzw B mit A<B

Das heißt aber nichts anderes, dass du ein M1 finden kannst, sodass |xn-A|<|B-A|/2 ist (für n>M1) und ein M2 sodass |yn-B|<|B-A|/2 ist (für n>M2). Nun sein N=max{M1,M2} dann gilt |xn-A|<|B-A|/2, |yn-B|<|B-A|/2 für n>N

Schaffst du den Rest? Mach dir ein Bild, dann ist es klar, dass du fertig bist.
Rungo
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Anmeldungsdatum: 17.10.2010
Beiträge: 33

BeitragVerfasst am: 07 Jan 2011 - 15:12:37    Titel:

Hallo Listing

Danke für die Antwort.

Also. Ich versuche mal den Gedankengang bei deinem Beweis mit meinen Worten zu erklären. Du hast zwei Intervalle, eins um A, das andere um B, so dass diese Intervalle keine gemeinsamen Elemente besitzen, ab n>N. Damit hast du eigentlich schon alles gezeigt.
Müsste ich das noch irgendwie formal aufschreiben, oder reicht das in Worten? Wenn nicht wie kriege ich das noch hin.

Eigentlich habe ich mir so ziemlich die gleichen Überlegungen bei meinem Beweis gemacht. Könntest du mir erklären, was an meinem selbstgemachten Beweis unsauber war? Wäre echt nett, damit ich es beim nächsten Mal besser machen kann.

Liebe Grüsse
Rungo
Schreibknecht
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Anmeldungsdatum: 16.10.2010
Beiträge: 187

BeitragVerfasst am: 08 Jan 2011 - 10:59:07    Titel:

An deinem Beweis würde ich nur zwei Kleinigkeiten kritisieren:

1. Warum gibt es diese disjunkten Umgebungen überhaupt? Listing hat eine konkrete Konstruktion angegeben.
Hinweis: Das ist deshalb wichtig, weil es nicht immer so ist. Du wirst später vielleicht einmal bestimmte topologische Räume (nicht-Hausdorffsche Räume) kennen lernen, in denen man Konvergenz von Folgen immer noch erklären kann, obwohl zwei verschiedene Punkte keine disjunkten Umgebungen haben müssen.

2. Warum sind alle Elemente der Umgebung von A kleiner als alle Elemente der Umgebung von B? Bildlich hast du dir das klargemacht. Formal kannst du das aufschreiben, indem du dir eine (naheliegende) obere Schranke von U(A) und eine untere Schranke von U(B) anschaust und die Transitivität von "<" ausnutzt.
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