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inhomogene DGL 2. Ordnung partikulär lösen
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konstantin87
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Anmeldungsdatum: 08.08.2008
Beiträge: 5968

BeitragVerfasst am: 07 Jan 2011 - 16:58:13    Titel: inhomogene DGL 2. Ordnung partikulär lösen

Ich komme bei einer Aufgabe nicht weiter, obwohl sie mir ziemlich einfach vorkommt. Lerne jetzt aber auch schon einige Stunden.

Gegeben ist folgende Dgl: y'' + 8y'+ 16y = e^-4x

Ich habe zuerst die doppelte Nullstelle (-4) und homogene Dgl bestimmt: Yh = C1 * e^-4x + C2 * x * e^-4x

Anschließend die spezielle Lösung und darüber die inhomogene Dgl: Y= Yh + Ys = C1 * e^-4x + C2 * x * e^-4x + 1/2 * x² * e^-4x oder zusammengefasst Y = e^-4x * (C1 + C2*x + 1/2*x²)

Stimmt auch alles mit der Lösung überein, aber im letzten Aufgabenteil soll die partikuläre Lösung über die Anfangsbedingungen y(0)=0 und y'(0)=1 bestimmt werden und hier komme ich nicht weiter.
Könnte mir jemand erklären, was ich machen muss?
Thebozz-mismo
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Anmeldungsdatum: 13.08.2006
Beiträge: 561

BeitragVerfasst am: 08 Jan 2011 - 03:58:32    Titel:

Hallo
Die Lösung von dir zu der DGL ist meiner Meinung nach richtig.
Doch die Aufgabenstellung muss falsch sein.
In der partikulären Lösung existieren nie Variabeln.
Nur in der allgemeinen(homogenen) Lösung existieren Variabeln(hier c1 und c2), die mit einer AW gelöst werden kann.

Also setzte in die Lösung y(0)=0 ein, dann bekommst du c1 und dann leite die Lösung ab, setzte y(0)=1 und du erhältest c2 und bist fertig mit der Aufgabe.

Mit freundlichem Gruß

TheBozz-mismo
Schreibknecht
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Anmeldungsdatum: 16.10.2010
Beiträge: 187

BeitragVerfasst am: 08 Jan 2011 - 10:49:03    Titel:

Na ja, es gibt genau eine Partikulärlösung der DGL, die diese Anfangsbedingungen erfüllt (nämlich genau die, die Thebozz-mismo konstruiert hat).
Ich würde es so lösen, indem ich für die Partikulärlösung y_p=(A+Bx+Cx^2)e^(-4x) ansetzte. Dann hat man mit der DGL und den beiden Anfangswerten ein LGS mit drei Gleichungen für die drei Unbekannten A,B und C - welches glücklicherweise eindeutig lösbar ist und die gewünschte Partikulärlösung liefert. Letztendlich läuft das aber wieder auf den Ansatz von Thebozz-mismo hinaus. Ich weiß also nicht, ob das die Intention des Aufgabenstellers war.
snaxx
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Anmeldungsdatum: 02.11.2009
Beiträge: 9

BeitragVerfasst am: 08 Jan 2011 - 16:41:36    Titel:

sieht nach nem fehler in der aufgabenstellung aus. die anfangswertbedingung gilt, soweit ich weiß, immer für die allgemeine lösung.

also einfach so verfahren wie Thebozz-mismo geschrieben hat.
konstantin87
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Anmeldungsdatum: 08.08.2008
Beiträge: 5968

BeitragVerfasst am: 08 Jan 2011 - 18:37:02    Titel:

danke für die hilfreichen antworten, stand wohl etwas auf dem schlauch.

ich kam zum gewünschten ergebnis f(x) = e^-4x * ( x + 1/2*x² ) und kann nicht ganz beurteilen, inwiefern die fragestellung tatsächlich falsch ist (hab die formulierung übernommen).
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