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Design-Supernovae
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Anmeldungsdatum: 19.05.2005
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BeitragVerfasst am: 13 Jun 2005 - 14:22:37    Titel: Flächeninhalt

Hallo,
ich habe folgende Aufgabe:

Bestimme den Flächeninhalt den die Funktion: f(x)= x^2 *e^x mit der negativen x-Achse einschließt.

F(x)= 1/3*x^3 * e^x stimmt das???

lim [1/3x^3 * e^x] von a bis 0

A= 1/3 * a^3 * e^a

Jetzt weiß ich nicht mehr weiter...
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 13 Jun 2005 - 14:50:49    Titel:

Zitat:
lim [1/3x^3 * e^x] von a bis 0


Was soll das denn sein ???

Ich denke eher:

Integral[a bis 0][x² * e^x]dx = [ x² * e^(x) - 2 * x * e^(x) + 2 * e^(x) ][a bis 0] = 2

lim[a->-oo]e^x = 0

e^0 = 1
Design-Supernovae
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Anmeldungsdatum: 19.05.2005
Beiträge: 101
Wohnort: Offenbach am Main

BeitragVerfasst am: 13 Jun 2005 - 14:54:45    Titel:

Ich dachte, das sei die Stammfunktion. Doch ist sie wohl nicht. Wir haben das bisher noch nicht durchgenommen, wie man auf die Stammfunktion kommt, wenn e^x im spiel ist.

Wie sieht die denn aus?
Design-Supernovae
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Anmeldungsdatum: 19.05.2005
Beiträge: 101
Wohnort: Offenbach am Main

BeitragVerfasst am: 13 Jun 2005 - 15:16:58    Titel:

ist das:

[ x² * e^(x) - 2 * x * e^(x) + 2 * e^(x) ]

die Stammfunktion?
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 13 Jun 2005 - 15:19:40    Titel:

Das nennt sich partielle Integration...

Das geht wunderbar, wenn man e^x dabeistehen hat, da e^x integriert e^x gibt, ebenso die Ableitung von e^x ist e^x...

Die Regel lautet:

INT[u'v]dx = uv - INT[uv']dx

Also in Deinem Beispiel:
u = e^x --> u'=e^x
v = x² --> v' = 2*x

INT[e^x * x²]dx = e^x * x² - INT[e^x * 2 * x]dx

Jetzt kann man das nochmal wiederholen und dann nochmal und dann steht das da:

INT[e^x * 2 * x]dx
u = e^x --> u' = e^x
v = 2x --> v' = 2

INT[e^x * 2 * x]dx = 2x * e^x - INT[2 * e^x]dx

INT[2 * e^x]dx
u = e^x --> u' = e^x
v = 2 --> v' = 0

INT[2 * e^x]dx = 2 * e^x - INT[0 * e^x]dx

INT[0 * e^x]dx = 0

x² * e^(x) - 2 * x * e^(x) + 2 * e^(x)

Beim zusammensetzen musst Du auf die Vorzeichen aufpassen...


Zuletzt bearbeitet von wild_and_cool am 13 Jun 2005 - 15:25:05, insgesamt einmal bearbeitet
Design-Supernovae
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Anmeldungsdatum: 19.05.2005
Beiträge: 101
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BeitragVerfasst am: 13 Jun 2005 - 15:24:47    Titel:

Ja habe davon schonmal was gehört. Das brauche ich morgen für meine Abi-Prüfung zum Glück nicht. Danke. Ich probiere jetzt mal, ob ich mit dem integrieren auf die selbe Lösung wie du komme. Hoffe das mal!
Design-Supernovae
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Anmeldungsdatum: 19.05.2005
Beiträge: 101
Wohnort: Offenbach am Main

BeitragVerfasst am: 13 Jun 2005 - 15:32:08    Titel:

Gut dann integriere ich von a bis 0:

[a^2 * e^a - 2*a*e^a + 2*e^a] - 2 = A

bis dahin ist alles klar. Nur was muss ich jetzt machen?
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 13 Jun 2005 - 15:40:28    Titel:

Jetzt kannst Du für a einsetzen was Du willst, oder was in der Aufgabe steht...

Also wenn da nix steht ausser die negative x-Achse, dann a = - unendlich einsetzen...

Das gibt dann eine Limes-Berechnung...
Design-Supernovae
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Anmeldungsdatum: 19.05.2005
Beiträge: 101
Wohnort: Offenbach am Main

BeitragVerfasst am: 13 Jun 2005 - 15:45:33    Titel:

also wenn ich mir die 3 "Abschnitte" anschau, gehen alle gegen 0.

oben hast du e^0 eingegeben. Das habe ich gemacht, weil alles gegen 0 Strebt?

Also ist das endergebnis 1 ?
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