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schwer
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Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 13 Jun 2005 - 15:30:18    Titel: schwer

Beweise:

Sei x+y+z=1, wobei x,y,z positive reelle Zahlen sind, dann ist:

xy+yz+zx<=1/3.
tvangeste
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Anmeldungsdatum: 14.03.2005
Beiträge: 94
Wohnort: Schweiz

BeitragVerfasst am: 13 Jun 2005 - 16:03:11    Titel:

x+y+z=1

xy+yz+xz<=1/3

z=(1-x-y)

-> xy+y(1-x-y)+x(1-x-y) = xy+y-xy-y^2+x-x^2-xy

=> y+x-y^2-x^2-xy

Als Funktion z(x,y) betrachten:

z=y+x-y^2-x^2-xy

Hochpunkt suchen:

Spuren:

x->0 -> z[s1]=y-y^2
z[s1]'=1-2y
z[s1]'=0 , y=0.5

y->0 -> z[s2]=x-x^2
z[s2]'=1-2x
z[s2]'=0 , x=0.5

z=y+x-y^2-x^2-xy | y=0.5, x=0.5

-> z= 0.25

Wenn z[s2](0.5)'' und z[s1](0.5)'' <0, dann ist 0.25 der höchste Wert, der erreicht werden kann.

z[s2]''(0.5)=-2 z[s1]''(0.5)=-2 -> ist der Hochpunkt!

-> der höchste erreichbare Wert ist 1/4???



Grenzfälle:

lim(y+x-y^2-x^2-xy) x->1 Dann wird y->0

0+1-0-1+0=0

lim(y+x-y^2-x^2-xy) x->0 Dann wird y->1

1+0-1+0+0=0

Das wäre meine Lösung.

Ja, nehmt mich auseinander Wink Stimmt eh nich Wink

Mfg,

Tvangeste
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 13 Jun 2005 - 16:07:03    Titel:

Ja du hast recht das stimmt nicht. z.B. wird für x=y=z=1/3 der Wert 1/3 erreicht.

Mit den Methoden der Analysis ist die Lösung aber häßlich und nur für welche die es können, da man partielle Ableitungen betrachten muss.

Besser ohne Analysis versuchen.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 13 Jun 2005 - 17:57:07    Titel:

Ich habe diese Aufgabe schon mal gesehen, aber die Lösung fällt mir nicht auf Anhieb ein. Ich glaube, es ging mit der Dreiecksungleichung.
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 14 Jun 2005 - 10:36:13    Titel:

Dreiecksungleichung muss nicht unbedingt Funktionieren, da x,y,z kein Dreieck bilden, aber wenn es gute Argumente gibt sie anzuwenden würde ich die Lösung gerne wissen.
tvangeste
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Anmeldungsdatum: 14.03.2005
Beiträge: 94
Wohnort: Schweiz

BeitragVerfasst am: 15 Jun 2005 - 16:43:23    Titel:

was soll hässlich sein? Ist eigneltich ja klar, dass es hier nicht mit den Spuren funtkioniert, obwohl es bei ganz einfachen Beispielen geht, ich habs mir nochmals überlegt und bin auf 1/3 gekommen:

Hier meine Lösung

x+y+z=1

xy+yz+xz<=1/3

z=(1-x-y)

-> xy+y(1-x-y)+x(1-x-y) = xy+y-xy-y^2+x-x^2-xy

=> y+x-y^2-x^2-xy

Als Funktion z(x,y) betrachten:

z=y+x-y^2-x^2-xy

nun, damit die negativen Zahlen nicht gezählt werden, beide Seiten wurzeln:

sqrt(z)=sqrt(y+x-y^2-x^2-xy)

nun partiell ableiten und null setzen:

dz/dx=-(2x+y-1)/(2*sqrt(-x^2-x(y-1)-y(y-1))

dz/dy=-(2y+x-1)/(2*sqrt(-y^2-y(x-1)-x(x-1)))

dz/dx=0 und dz/dy=0 ->

|-(2x+y-1)/(2*sqrt(-x^2-x(y-1)-y(y-1)))=0|
|-(2y+x-1)/(2*sqrt(-y^2-y(x-1)-x(x-1)))=0|

ausgerechnet ergibt das: x=1/3 und y=1/3

-> einsetzen in

sqrt(z)=sqrt(y+x-y^2-x^2-xy) | x=1/3 und y=1/3

nach z auflösen, das ergibt:

z=1/3

Gruss,

Tvangeste
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 15 Jun 2005 - 16:49:54    Titel:

Ist ja ganz schön, aber um die negativen Argumente nicht zu betrachten darfst du nicht einfach die Wurzel ziehen.
Der Ausdruck ist aber trotzdem immer positiv, da (1-x-y) positiv ist und Summen positiver Zahlen positiv sind.

Es fehlt noch der Nachweis des Extremas, es kann ja auch ein Sattelpunkt sein.
tvangeste
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Anmeldungsdatum: 14.03.2005
Beiträge: 94
Wohnort: Schweiz

BeitragVerfasst am: 15 Jun 2005 - 17:04:16    Titel:

Gut den Nachweis, dachte auf das kommts nich mehr gross draufan:

dz/dx=-(2x+y-1)/(2*sqrt(-x^2-x(y-1)-y(y-1))
dz/dy=-(2y+x-1)/(2*sqrt(-y^2-y(x-1)-x(x-1))

a=dz/dx(dz/dx)=-1/sqrt(-x^2-x(y-1)-y(y-1)) - (2x+y-1)^2/(4(-x^2-x(y-1)-y(y-q))^3/2

b=dz/dy(dz/dy)=-1/sqrt(-y^2-y(x-1)-x(x-1))-(2y+x-1)^2/(4*(-y^2-y(x-1)-x(x-1))^2/3

a |x=1/3 und y=1/3 -> a=-sqrt(3)
b |x=1/3 und y=1/3 -> b=-sqrt(3)

a und b sind <0, demnach ist es ein Hochpunkt

Wieso darf ich nicht wurzeln? Ohne Wurzeln gehts nicht, dann liegt das Maximum bei -1/3 und dies ist ja nicht erlaubt, wenn ich z gewurzelt weiterverfolge und so -1/3 ausschliesse komm ich zu anderen Lösungen, und 1/3 stimmt ja als Hochpunkt, oder seh ich das falsch?

Mfg

Tvangeste
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 15 Jun 2005 - 17:10:40    Titel:

Man die Wurzel nicht ziehen, da man nur Wurzeln ziehen kann wenn der Radikant im Definitionsbereich nicht negativ wird.

Es reicht auch aus z(x,y) mit z:R²-R zu betrachten, dann brauchst du nur die Punkte mit (x,y)€[0,1]² aus deinen ganzen möglichen Extremas raussuchen.


Im Großen und Ganzen ist deine Lösung richtig (mit Ecken und Kanten).
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 15 Jun 2005 - 17:12:29    Titel:

Meine Lösung:

(x-y)²+(x-z)²+(y-z)²>=0

<=>

x²+y²+z²>=xy+xz+yz

<=>

x²+y²+z²+2xy+2xz+2yz=(x+y+z)²=1>=3(xy+xz+yz)

<=>

1/3>= xy+xz+yz
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