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Nullstellenberechnung unmöglich?
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asgard86
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Anmeldungsdatum: 12.06.2005
Beiträge: 11

BeitragVerfasst am: 15 Jun 2005 - 18:44:30    Titel: Nullstellenberechnung unmöglich?

Eigentlich klingt die Sache ja sehr einfach aber wir hatten im Mathe LK eine FUnktion, die zwar eine Nst. hat aber die wir nicht ermitteln konnten. Selbst unser Mathe Lehrer kam nicht auf ein Ergebnis!!!

die Funktion lautet: f(k,x)=x^5+x-k

so weit so gut. wenn wir jetzt jetzt o einsetzten:

x^5+x-k=0
x(x^4+1)=k

und jetzt??? wir hatten keine Ahnung wie wir jetzt die genaue Nst. xo berechnen sollen. Dabei ist gesagt das wir im Unterricht ein CAS Rechner nutzen und der uns die letzte Gleichung angab. Aber dennoch muss es doch ein prezises Ergebnis für diese Nst. geben.

Wäre toll wenn einer ein Vorschlag hat oder Ansatz.

Das nenn ich mal ne Knobelaufgabe ^^
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 15 Jun 2005 - 19:21:23    Titel:

So, wie Du sie hingeschrieben hast ist das Polynom multivariat und kann somit auch überabzählbar viele Nullstellen haben. Wenn Du meinst f_k(x), so hast Du mit mir bekannten Methoden keine Mgk. die NS. auszurechnen. Wenn k fest wäre, würde es anders aussehen, aber so wird die Nullstelle i.A. irrational sein und man hat ausgeschissen.
asgard86
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Anmeldungsdatum: 12.06.2005
Beiträge: 11

BeitragVerfasst am: 15 Jun 2005 - 20:39:40    Titel:

k ist element der reellen zahel!

aber dennoch, wenn ich mir die Fkt ansehe hat sie klar und deutlich eine nullstelle und die ganze fkt sieht nicht einmal seltsam aus. es muss doch einen weg geben diese nst zu berechnen.
die Nst. für k=1 lag glaube ich bei 0.7 oder so.
aber es muss einen weg geben, denke ich jedenfalls
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 15 Jun 2005 - 21:01:17    Titel:

Wenn Du unter "Weg" eine Abbildung von k auf die Nullstellen von f meinst, dann gibt es definitiv eine solche. Bloß angeben kann man sie nicht in der Form, wie es gewöhnlich geht.

Allgemein existieren nachweisbar keine geschlossenen Lösungen für Nullstellenprobleme mit Polynomen ab Grad 5 inklusive. Ein einfaches Faktorisierungsverfahren nutzt Stückweise Interpolation (Kronecker-Faktorisierung). Dafür müssen aber die Koeffizienten ganzzahlig sein.
asgard86
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Anmeldungsdatum: 12.06.2005
Beiträge: 11

BeitragVerfasst am: 15 Jun 2005 - 21:03:30    Titel:

puh ... kannst du das mal bitte an dieser funktion zeigen was du meinst?
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 15 Jun 2005 - 21:16:36    Titel:

Das ist ganz schön viel Arbeit. Z.B. für k = 1 ist

f(x) = x^5 + x - 1

Das Polynom kann höchstens 5 Nullstellen haben. Du suchst Dir beliebige paarweise verschiedene Stellen, die keine Nullstellen sind. Z.B.

-2,-1,0,1,2

und rechnest die Funktionswerte aus.

f(-2) = -32 - 2 - 1 = -35
f(-1) = -1 - 1 - 1 = - 3
f(0) = -1
f(1) = 1 + 1 - 1 = 2
f(2) = 32 + 2 -1 = 33

Und jetzt muß man alle Kombinationen der Teiler von -35, -3, -1, 2 und 33 ausprobieren und jeweils eine Lagrange-Interpolation anwenden um einen Teiler von f zu finden.

Z.B. für 5 und -1 wäre ein Polynom 1-Grades f(-2) = -5 und f(0) = -1 durch p(x) = -2x-1. Jetzt muß man prüfen ob f durch p teilbar ist (Polynomdivision) und so weiter.

Wenn Du die Zahl der Interpolationen und Polynomdivisionen mal schätzt wirst Du mich verstehen, warum ich das nicht machen möchte.
asgard86
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Anmeldungsdatum: 12.06.2005
Beiträge: 11

BeitragVerfasst am: 15 Jun 2005 - 21:35:41    Titel:

ja schon klar verstehe, aber ich hab es jetzt annähernd verstanden. danke!!
gibt es programme oder befehle für bekannte CAS systeme dafür?
z.b. derive? oder fürn TI?

aber trotzdem möchte ich mich bei dir bedanken! aber eigentlich hätte es mein lehrer doch auch wissen müssen oder?
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 15 Jun 2005 - 21:46:31    Titel:

Zitat:
aber trotzdem möchte ich mich bei dir bedanken! aber eigentlich hätte es mein lehrer doch auch wissen müssen oder?


Mein Studiumschwerpunkt ist Computeralgebra. Ich weiß sowas. Ein Lehrer muß es nicht wissen. Was den Kronecker-Algo anbetrifft, so glaube ich, gibt es keine Implementierungen davon in bekannten CAS, denn der ist aus der Komplexitätssicht scheiße. Es gibt aber andere Algorithmen. Ich weiß aber nicht genau, wie die Befehle dazu lauten.

Wenn es dich interessiert, dann suche mal in google nach "Polynomfaktorisierung". Da gibt es zahlreiche Literatur. Sollte Dich was spezielles interessieren und Du verstehst was nicht, so schreib die Frage einfach hier im Forum. Werden wir schon rausfinden.
asgard86
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Anmeldungsdatum: 12.06.2005
Beiträge: 11

BeitragVerfasst am: 15 Jun 2005 - 21:54:25    Titel:

vielen dank, das werde ich tun Very Happy

nochmals danke hast mir sehr geholfen!!!
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 20 Jun 2005 - 18:20:03    Titel:

Das ist wohl die Antwort, die der Threadersteller haben wollte. Da sind ein paar schöne Papers dabei, die ich mir demnächst mal reinziehen werde, da ich vorhabe Teile dieses Konzeptes zu implementieren.
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