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Nullstellenberechnung unmöglich?
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maerchenkoenig
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Anmeldungsdatum: 23.05.2005
Beiträge: 47
Wohnort: frankfurt am main

BeitragVerfasst am: 16 Jun 2005 - 08:20:18    Titel:

hallo,

wenn es nur darum geht für ein beliebiges, aber bestimmtes k€R eine Nullstelle zu finden, dann ist das mit hilfe eines computers sicher approximierbar.

z.b als folge x(n+1) = k-x(n)^5. geeignete anfangswerte und konvergenz vorausgesetzt. was vor der rechnung ein paar formale betrachtungen notwendig macht.

grüße
m
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 16 Jun 2005 - 09:21:21    Titel:

Es geht hier, meiner Meinung nach, selbstverständlich darum, die Nullstellen algebraisch zu bestimmen. Eine Näherung x_0 ist im formalen Sinne nicht einmal eine Lösung des Problems, also Nullstelle, denn f(x_0) <> 0.
maerchenkoenig
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Anmeldungsdatum: 23.05.2005
Beiträge: 47
Wohnort: frankfurt am main

BeitragVerfasst am: 17 Jun 2005 - 13:37:04    Titel:

algebrafreak hat folgendes geschrieben:
Es geht hier, meiner Meinung nach, selbstverständlich darum, die Nullstellen algebraisch zu bestimmen. Eine Näherung x_0 ist im formalen Sinne nicht einmal eine Lösung des Problems, also Nullstelle, denn f(x_0) <> 0.


Witzbold,

wenn x_0 = lim x(n) für n gegen unendlich, dann ist f(x_0) = 0.

grüße
m
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 17 Jun 2005 - 14:18:07    Titel:

Für diese spezielle Gleichung gibt es einen Algorithmus um die Lösung zu finden, aber nur für spezielle k.
Diesen Algorithmus kann ich hier leider nicht angeben, da es kompliziert ist ihn hier hin zu schreiben.
KTU
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Anmeldungsdatum: 17.01.2005
Beiträge: 188
Wohnort: Cologne

BeitragVerfasst am: 17 Jun 2005 - 14:57:44    Titel:

maerchenkoenig hat folgendes geschrieben:

Witzbold,
wenn x_0 = lim x(n) für n gegen unendlich, dann ist f(x_0) = 0.


Hallo Märchenkönig, verzapf mal nicht so nen Schrott (nachher glaubt das noch einer Smile ). Ich glaube, ich kenne den Satz, worauf du anspielst:

Ist in einem Intervall, das außer einer Lösung u der Gleichung auch sämtliche Iterationswerte x_0,x_1=phi(x_0),...x_n+1) enthält, die Bedingung |(phi'(x))|<=q (q positive Konstante <1, wobei es zweckmäßig erscheint, den (positiven) q-Wert so klein wie möglich zu wählen! ) erfüllt, so existiert lim(x_n=u, n gegen unendlich) und es gilt die Fehlerabschätzung abs|u-x_n|<=q/(1-q)*|x_n-x_n+1|

(den hab ich mal für das Newtonverfahren benutzt). Aber trotzdem kannst du doch keine Lösung angeben für die gilt f(x_0)=0. Wie gesagt, dafür brauchst du eine algebraische Lösung. Denn was wir wollen ist eine Lösung und nciht die Tatsache, dass eine Lösung existiert und man sich dieser beliebig nähern kann!
Ansonsten mach mir mal deinen Ansatz bei x^2-1=0 klar, aber bedenke:
es gilt die Fehlerabschätzung abs|u-x_n|<=q/(1-q)*|x_n-x_n+1| Smile
Viel Glück
asgard86
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Anmeldungsdatum: 12.06.2005
Beiträge: 11

BeitragVerfasst am: 17 Jun 2005 - 19:19:47    Titel:

oh mein gott ich merk ja dass ich gar keine ahnung hab Sad
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 17 Jun 2005 - 20:11:17    Titel:

Zitat:
Für diese spezielle Gleichung gibt es einen Algorithmus um die Lösung zu finden, aber nur für spezielle k. Diesen Algorithmus kann ich hier leider nicht angeben, da es kompliziert ist ihn hier hin zu schreiben.


Für feste k gibt es ca. 10 verschiedene Algorithmen. Den einfachsten habe ich oben angegeben.
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 20 Jun 2005 - 13:29:56    Titel:

Ich meine damit exakte Lösungsformeln.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 20 Jun 2005 - 13:39:10    Titel:

Dann will ich aber diese (oder einen Verweis darauf) unbedingt sehen.
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 20 Jun 2005 - 13:58:58    Titel:

http://mathworld.wolfram.com/QuinticEquation.html

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