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Ableitung
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Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 17 Jun 2005 - 15:51:21    Titel: Ableitung

Gesucht ist sie 1000-te Ableitung von

f(x)=sin(x)*cos(x)
Faulus
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Anmeldungsdatum: 26.05.2005
Beiträge: 82

BeitragVerfasst am: 17 Jun 2005 - 16:26:51    Titel:

hmm ob man das vereinfach kann, ich glaube nicht.

allgemein kann man das so machen:

f(x)^(1000) (bedeutet hier: 1000ste ableitung:

also:

f(x)^(1000) =

Summe((1000 über i) * ∂(f(x), x, i) * ∂(h(x), x, 1000 - i), i, 0, 1000)

------

∂(f(x), x, i) bedeutet: Ableitung von f(x) nach x, i-te Ableitung

Summe(g,i, 0, 1000) bedeutet: Summiere Ausdruck g von i =0 bis 1000

hier sind f(x) = sin(x), h(x) = cos(x)


cu...
Gauss
Senior Member
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 17 Jun 2005 - 16:32:17    Titel:

Ja das ist der richtige Ansatz. Very Happy

Die Formel kann man vereinfachen, da die Ableitungen in der Form

a1*sin²(x)+a2*sin(x)*cos(x)+a3*cos²(x) mit a1,a2,a3€R

geschrieben werden können.
Faulus
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Anmeldungsdatum: 26.05.2005
Beiträge: 82

BeitragVerfasst am: 17 Jun 2005 - 16:35:48    Titel:

mir faellt gerade auf: .p

bei dir ist einfach die 1000te Ableitung:


sin(x)*cos(x)*(Summe((1000 über i),i,0,1000))

denn z.B. die 0te Ableitung von sin(x) * 1000te Ableitung von cos(x)

ist trotzdem wieder sin(x)cos(x)

genauso:

1te Ableitung sin(x) * 999te Ableitung cos(x) = sin(x)cos(x)

und wieder genauso:
2te Ableitung sin(x) * 998te Ableitung cos(x) = sin(x)cos(x)

deswegen kann man den ganzen rotz ausklammern, und muss nur noch die Summe von i=0 bis 1000 von (1000 über i) brechnen...

cu...
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