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Linearisierung einer Funktion
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Schieder
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Anmeldungsdatum: 13.06.2005
Beiträge: 36

BeitragVerfasst am: 17 Jun 2005 - 22:27:15    Titel: Linearisierung einer Funktion

hallo, hätte da mal ne frage zur linearisierung einer funktion..

gegeben ist die gleichung: y = lnx
linearisierung an x = 5
dadurch ist y = ln5

durch linearisierung bin ich auf die gleichung

y = -0,2x + 2,609

Stimmt das? wenn nicht würde ich mich über eine erklärung freuen

danke im voraus!
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 17 Jun 2005 - 23:57:42    Titel:

Linearisierung muß in diesem Kontext erklärt werden. Meinst Du etwa Approximation durch Tangente? Man kann auch z.B. durch Linearformenauswertung (Integrale z.B.) eine lineare Näherung berechnen.
Schieder
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Anmeldungsdatum: 13.06.2005
Beiträge: 36

BeitragVerfasst am: 18 Jun 2005 - 01:31:09    Titel:

oh, stimmt ja.. also, es soll mittels Approximation erfolgen...
Schieder
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Anmeldungsdatum: 13.06.2005
Beiträge: 36

BeitragVerfasst am: 18 Jun 2005 - 01:41:27    Titel:

so, ich denk ich habs doch anders als vorhin..
jetzt hab ich rausbekommen als funktion:

y = 1/5*x - 1

hört sich doch schon besser an, oder?
Schieder
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Anmeldungsdatum: 13.06.2005
Beiträge: 36

BeitragVerfasst am: 18 Jun 2005 - 02:03:43    Titel:

durch die gleiche methode sollte auch diese funktion linearisiert werden:

y = sqrt(1 + x^4) an der stelle x = 1

lösung wäre:

y = sqrt(2) * x

also: x mal wurzel aus 2

wie komm ich dahin? bitte lösungsweg Laughing
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 18 Jun 2005 - 12:32:09    Titel:

Zitat:
y = sqrt(1 + x^4) an der stelle x = 1 f(x)

lösung wäre:

y = sqrt(2) * x g(x)


Tangentenapproximation hat immer die Eigenschaft durch den zu approximierenden Punkt zu gehen. In deinem Fall gilt f(2) = sqrt(1+1) = sqrt(2) = g(2). Und die Steigung muß gleich sein f'(1) = g'(1). Somit gilt

Code:

>> diff(sqrt(1+x^4),x);

                                       3
                                    2 x
                                -----------
                                  4     1/2
                                (x  + 1)



Und das Ding an der Stelle 1 hat den Wert 2/sqrt(2) = sqrt(2). Somit gilt auch f'(1) = g'(1). Die Lösung entspricht Tangentenapproximation.

Allgemein reicht es für diese (sehr schlechte) Methode einfach die Tangentengleichung nach t(x) = f'(x_0)(x-x_0) + f(x_0) aufzustellen.

Besser wäre es z.B folgendes zu berechnen

int_0^2 (f(x)-mx-t)^2 dx

und das Minimum von dem was rauskommt nach m und t zu bestimmen.
Schieder
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Anmeldungsdatum: 13.06.2005
Beiträge: 36

BeitragVerfasst am: 18 Jun 2005 - 15:29:58    Titel:

2 x^3
-----------
(x^4 + 1)^1/2

wie komme ich auf diese ableitung? ich hab die 2 vor der klammer, da ich ja 1/2 beim ableiten vor die klammer bringe.

x^3
-----------
2(x^4 + 1)^1/2


durch approximation komme ich da auf eine funktion:

y = 0,5*(sqrt2) * (x+1)

richtig wäre jedoch:

y = x * sqrt(2)

WIESOOOOOOO Question Question Question
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 18 Jun 2005 - 17:40:13    Titel:

Zitat:
durch approximation komme ich da auf eine funktion:

y = 0,5*(sqrt2) * (x+1)


Rechne bitte die Tangentengleichung aus. Du wirst sehen, Du hast irgendwo einen Fehler gemacht. Was die Ableitung anbetrifft: Kettenregel ist das Schtichwort:

(sqrt(1+x^2))' = ((1+x^4)^(1/2))' = 1/2 * (1+x^4)^(-1/2) * 4x^3 = 2x/(1+x^4)^(1/2)
Schieder
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Anmeldungsdatum: 13.06.2005
Beiträge: 36

BeitragVerfasst am: 19 Jun 2005 - 13:33:24    Titel:

oh mann, hast recht.. hab mich wirklich in der ableitung verschrieben..
aber jetzt hab ichs raus, juhuu!!!

dankeschön!!
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