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Cauchykriterium -> Delta finden
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Hubi
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Anmeldungsdatum: 17.06.2005
Beiträge: 9

BeitragVerfasst am: 18 Jun 2005 - 00:36:47    Titel: Cauchykriterium -> Delta finden

Hallo!

Bin neu hier... ok, gleich meine Frage, an der ich seit Tagen knoble: Smile

Es geht um das Cauchykriterium zum Nachweisen, dass eine reelle Funktion mit dem Definitionsbereich D an einer bestimmten Stelle a einen Grenzwert hat, d.h.

"Für alle Epsilon > 0 gibt es ein Delta > 0, mit dem für alle x,y Element von R\{a} gilt:

( |x-a| < Delta UND |y-a| < Delta ) => |f(x) - f(y)| < Epsilon."

So, wie finde ich jetzt allgemein das besagte Delta / die Deltafunktion (von Epsilon)?

Gibt es da überhaupt einen allgemeinen Algorithmus? Oder muss man probieren? Was ist dann die beste Strategie?

Wie wäre es z.B., wenn ich allgemein wählen würde:

Für Epsilon > 2: Delta = 1 / (Epsilon ^ 10000)
Für Epsilon <= 2: Delta = Epsilon / 10000

Wären damit schon viele gebräuchliche Funktionen abgedeckt? Smile

Danke im voraus,
Hubi
Ingobar
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Anmeldungsdatum: 25.02.2005
Beiträge: 384

BeitragVerfasst am: 18 Jun 2005 - 09:11:13    Titel:

Wenn ich mich richtig erinnere, hängt die Wahl des Deltas von Epsilon.
Und manchmal kann man wohl einen Algorithmus verwenden:

http://schule.mupad.de/material/notebooks25/Stetigkeit.html

Vielleicht hilft dir das weiter.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 18 Jun 2005 - 12:37:25    Titel:

Schreibe Dir die Ungleichung |f(x) - f(y)| < epsilon auf und löse sie nach x und y unter der Nebenbedingung |x-a| < delta |y-a| < delta. Das gibt meistens einen Überblick, was zu tun ist.

P.S. Chauchy-Kriterium ist meiner Meinung nach hier nicht besonders geeignet.
Hubi
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Anmeldungsdatum: 17.06.2005
Beiträge: 9

BeitragVerfasst am: 18 Jun 2005 - 18:20:11    Titel:

Hallo!

Vielen Dank bis hierher!

@algebrafreak: Du sagst
Zitat:
Chauchy-Kriterium ist meiner Meinung nach hier nicht besonders geeignet.


Ich will allgemein die Existenz eines Grenzwertes bei einer reellen Funktion an einer bestimmten Stelle beweisen oder widerlegen, welche(s) Verfahren sollte ich denn da am besten nehmen?

----

Bis jetzt habe ich (nach drei Tagen, uff... Embarassed) folgendes Verfahren zur Bestimmung von Delta herausgefunden, ich weiß nicht, ob es zu kompliziert ist:

Starte mit den Bedingungen |x-a| < delta, |y-a| < delta.
Daraus folgt, dass x aus dem Intervall ist: ]a-delta; a+delta[
Auch y muss aus diesem Intervall sein, da dasselbe für y gilt.
Betrachte nun die Bedingung nach dem Folgerungszeichen, also |f(x) - f(y)| < epsilon.
Setze für jedes x und y das oben bestimmte Intervall ein.
Wende auf die Intervalle die angegebenen Operationen an, z.B. [a;b] + 1 = [a+1; b+1] ... Oder -[a;b] = ]-b;-a[
So dass am Ende etwas steht wie:
]0; delta[ < epsilon
Daraus würde nun z.B. folgen: epsilon >= delta.
Fallunterscheidungen können auch vorkommen, z.B. bei ]a-delta;a+delta[² = ]max(0,a-delta)²; (a+delta)²[.

Das müsste meiner Meinung nach immer funktionieren... Ist natürlich ziemlich fehleranfällig, weil man dieses Rechnen mit Intervallen nicht so gewöhnt ist...

Viele Grüße,
Hubi
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 18 Jun 2005 - 18:33:42    Titel:

Zitat:
Ich will allgemein die Existenz eines Grenzwertes bei einer reellen Funktion an einer bestimmten Stelle beweisen oder widerlegen, welche(s) Verfahren sollte ich denn da am besten nehmen?


Wenn die Funktion durch einen Funktionsterm gegeben ist, so gibt es keine bessere Lösung als die Existenz vom links und vom rechtsseitigem Grenzwert auszurechnen und diese zu vergleichen. Und wenn man schon einen Funktionengrenwert mit epsilons usw. ausrechnet, so sollte man die direkte Definition nehmen (sog. Folgenkriterien) : Für jede Folge (a_n) mit a_n <> a, die gegen a konvergiert, konvergiert die entsprechende Folge der Funktionswert (f(a_n)) gegen den Funktionswert f(a) <=> Limes existiert.
Hubi
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Anmeldungsdatum: 17.06.2005
Beiträge: 9

BeitragVerfasst am: 18 Jun 2005 - 20:43:28    Titel:

Hallo!

Zitat:
Wenn die Funktion durch einen Funktionsterm gegeben ist, so gibt es keine bessere Lösung als die Existenz vom links und vom rechtsseitigem Grenzwert auszurechnen und diese zu vergleichen.


Ok, sagen wir mal, die betreffende Funktion sei: f(x) = sin(1/x)

Die betreffende Stelle sei 0.

Wenn ich jetzt von rechts annähere, komme ich auf: lim = sin(unendlich)
Von links: lim = sin(-unendlich)

Kann man dann zeigen, dass: sin(-unendlich) != sin(unendlich) ? Und wie funktioniert das?

Noch eine kurze andere Verständnisfrage: Ist es allgemein leichter, die Existenz zu zeigen, wenn man den tatsächlichen Grenzwert schon kennt? Welches Verfahren nimmt man dann?

Vielen Dank nochmal!!

Hubi
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 18 Jun 2005 - 21:09:18    Titel:

Zitat:
Wenn ich jetzt von rechts annähere, komme ich auf: lim = sin(unendlich)
Von links: lim = sin(-unendlich)


Eine solche Sichtweise ist nur bedingt anwendbar. Das Vertauschen der Grenzwertbildung mit dem Einsetzen funktioniert i.A. nur im Falle der Stetigkeit der gegebenen Funktion und dann auch nur, wenn alles definiert ist.

Was sin(1/x) anbetrifft, so muß man hier viel mehr die nicht Existenz beweisen.

Zitat:
Noch eine kurze andere Verständnisfrage: Ist es allgemein leichter, die Existenz zu zeigen, wenn man den tatsächlichen Grenzwert schon kennt? Welches Verfahren nimmt man dann?


Ja. Schon. Du sprichst von "Verfahren" so, als ob Du es algorithmisch lösen wolltest. Ist dem so? Wenn nicht, dann ist der "gesunde Menschenverstand" bzw. Erfahrung durch Übern für solche Sachen besser!
Hubi
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Anmeldungsdatum: 17.06.2005
Beiträge: 9

BeitragVerfasst am: 18 Jun 2005 - 23:56:11    Titel:

Hallo algebrafreak,

sorry, dass ich Dich noch weiter nerve... ;-) Ich bin Informatikstudent im Grundstudium und für mich ist daher bei dieser Sache gesunder Menschenverstand dasselbe wie ein effizienter und klarer Algorithmus... :-)

Im Ernst, ich frage mich halt einfach, wie kann ich am schnellsten beweisen, dass eine reelle Funktion an einer bestimmten Stelle (k)einen Grenzwert hat? Ich suche also einfach ein möglichst einfaches "Kochrezept" für Aufgabenstellungen dieser Art. Fallunterscheidungen sind durchaus erlaubt... :-)

Ich bin schon seit Tagen im Internet am Suchen und mein Mathekurs an der Uni hilft mir auch nicht viel weiter.

Du hast schon recht, Übung ist hier sehr wichtig, aber wie soll ich sinnvoll üben, wenn ich von vornherein nicht weiß, welches Verfahren anzuwenden ist?

Also, nach dem, was ich jetzt von Dir erfahren habe, möchte ich, ziemlich mathematisch ausgedrückt, nur noch wissen:

* Wenn man vermutet, dass es einen Grenzwert an der betr. Stelle gibt, aber nicht weiß welcher es sein könnte, wendet man Verfahren X an, um die Behauptung zu beweisen

* Wenn man vermutet, dass es einen Grenzwert an der betr. Stelle gibt, und diesen Wert auch schon vermutet, wendet man Verfahren Y an, um die Behauptung zu beweisen

* Wenn man vermutet, dass es keinen Grenzwert an der betr. Stelle gibt, wendet man Verfahren Z an, um die Behauptung zu beweisen (die Existenz zu widerlegen)

Was sind dann X,Y,Z geschickterweise?

Danke nochmal!

Hub
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 19 Jun 2005 - 11:46:19    Titel:

Ich habe mir lange Zeit gelassen zu überlegen, wie ich es Dir beibringen soll. Ich vermute folgendes (über den Beweis können wir noch diskutieren):

Es gibt kein allgemeines Verfahren um bei einer durch einen endlichen Text charakterisierten Funktion

i) den Grenzwert an einer durch einen endlichen Text charakterisierten Stelle zu bestimmen.

ii) die Existenz eines Grenzwertes an einer durch einen endlichen Text charakterisierten Stelle zu beweisen.

iii) die nicht Existenz eines Grenzwertes an einer durch einen endlichen Text charakterisierten Stelle zu beweisen.

Zum Beweis: Ich würde behaupten, daß die Geschichte bereits daran scheitert eine solche Funktion an der gegebenen Stelle auszuwerten, denn das kann i.A. lediglich positiv semientscheidbar sein und somit könnte es für den Wert keine endliche Textdarstellung geben (man kann ja nur endlich viele zusatzsymbole einführen). Aber auch dann, wenn man die Funktion auswerten kann (etwa indem man sich auf eine geeignete Teilmenge von Funktionen bzw. Darstellungen beschränkt) ist es schwierig.

Ich habe ein wenig nachgesucht und habe zur symbolischen Grenzwertberechnung leider nichts gefunden. So wird es vermutlich so sein, daß die CAS eine Bibliothek von bekannten Grenzwerten besitzen und daraus für einen speziellen Fall eine Lösung konstruieren. Also reine Heuristik ("gesunder Menschenverstand").

P.S.: Deine optimistische Sicht auf "Algorithmik" wird sicherlich in den nächsten Semestern stark abnehmen; spätestens dann, wenn Du die [url=http://de.wikipedia.org/wiki/Gödelscher_Unvollständigkeitssatz]Gödelschen Unvollständigkeitssätze[/url] gesehen hast. Du solltest mal nach einem Buch in der Bib suchen mit einem Titel "Theorembeweiser" oder "Termreduktionssysteme" so. Dann darfst Du uns berichten, was Du da gelesen hast Smile
Hubi
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Anmeldungsdatum: 17.06.2005
Beiträge: 9

BeitragVerfasst am: 20 Jun 2005 - 20:34:47    Titel:

Hallo algebrafreak,

über Deine Antwort musste ich erst mal einen Tag nachdenken... Smile vielen Dank für Deine ausführliche Antwort.

Ich kann mir denken, dass es "unberechenbare Funktionen" gibt. Obwohl ich solche mathematischen Objekte nicht unbedingt "Funktionen" nennen würde, denn heißt es nicht in der "normalen" Definition von "Funktion", dass es eine eindeutige "Funktionsvorschrift" geben muss, d.h. einen terminierenden Algorithmus, um aus den Eingabe- die Ausgangsgrößen zu konstruieren? Und ich schätze mal, Konstruktivisten würden dann vielleicht auch die Existenz dieser nicht-konstruierbaren Objekte überhaupt bestreiten...

Aber egal, um diese math. Objekte geht es aber wohl eigentlich nicht im Grundstudium Analysis? Smile

Du hast gesagt:
Zitat:
Aber auch dann, wenn man die Funktion auswerten kann (etwa indem man sich auf eine geeignete Teilmenge von Funktionen bzw. Darstellungen beschränkt) ist es schwierig.


Also meinst Du, dass es bei den "normalen" Funktionen schon möglich ist, ein allgemeines Verfahren zu finden. Das, was die CAS-Systeme anwenden, ist ja meiner Meinung nach auch wieder ein Verfahren, auch wenn sie Heuristik benutzen.

Also, ich meine, ich habe da mit dem Epsilon-Delta-Kriterium schon ein allgemeines Verfahren ohne Heuristik gefunden:

Code:

Das Epsilon-Delta-Kriterium lautet ja:
Eine Funktion hat einen Grenzwert b an der Stelle a genau dann, wenn für alle Epsilon > 0 es gibt ein Delta > 0 wobei für alle x Element von D \ {a}:
|x-a| < Delta => |f(x) - b| < Epsilon

Aus |x-a| < Delta folgt allgemein:
x Element ]a-Delta; a+Delta[

Somit muss jetzt folgen:
|f(]a-Delta; a+Delta[) - b| < Epsilon

Ich meine das im Sinne der Intervallrechnung.

Wenn die Funktion berechenbar ist, kann man auch die Bildmenge des Intervalls durch ihre Extremstellen angeben, und somit letztlich die konkrete Bedingung für das Delta aufstellen.


Viele Grüße,
Hub
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