Studium, Ausbildung und Beruf
 StudiumHome   FAQFAQ   RegelnRegeln   SuchenSuchen    RegistrierenRegistrieren   LoginLogin

Beweis - Vollständige Induktion
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Beweis - Vollständige Induktion
 
Autor Nachricht
6-pack-drake
Newbie
Benutzer-Profile anzeigen
Newbie


Anmeldungsdatum: 18.06.2005
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 18 Jun 2005 - 12:04:40    Titel: Beweis - Vollständige Induktion

hi,

komm bei 2 aufgaben nicht weiter Sad :

I. Beweisen sie durch vollständige Induktion:
1+a+a²+...+a^n < 1/(1-a) für 0<a<1 und alle n€N

II. Beweisen Sie durch vollständige Induktion den Satz, dass in einem konvexen n-Eck (n>=3) die Winkelsumme (n-2)*180 beträgt. Dabei heißt ein n-Eck konvex, wenn sämtliche Innenwinkel kleiner als 180° sind.

Für Lösungsvorschläge oder konkrete Hinweise wär ich sehr dankbar! (Auch über komplettte Lösungswege ^^)

Danke schön im Voraus

MFG

PL
algebrafreak
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 18 Jun 2005 - 13:47:54    Titel:

Zitat:
I. Beweisen sie durch vollständige Induktion:
1+a+a²+...+a^n < 1/(1-a) für 0<a<1 und alle n?N


Deine Summe A_n = 1+a+a^2+...+a^n = sum_{i=0}^n (a)^i ist für 0 < a < 1 jeweils eine Partiallsumme der (konvergenten) geometrischen Reihe. Somit gilt

A_n = (a^(n+1) - 1) / (a-1)

und somit A_n = (1 - a^(n+1)) / (1-a) = 1/(1-a) - (a^(n+1)/(1-a)) < 1/(1-a), denn 0 < 1-a < 1 und a^(n+1) > 0.

Somit ist dein Beweis lediglich der selbe, wie für die Beziehung der geometrischen Reihen oben. Und den findest Du überall im Netz.
6-pack-drake
Newbie
Benutzer-Profile anzeigen
Newbie


Anmeldungsdatum: 18.06.2005
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 18 Jun 2005 - 17:08:31    Titel:

okay danke. Wir brauchen das nur bis zu dem Schritt, denn ab da kann man ja ablesen, dass 1/(1-a) größer ist.
Aber ich hab dazu noch ne frage: Wie kommt man auf die erste Formel:

Zitat:
A_n = (a^(n+1) - 1) / (a-1)


Weil ich hätte eher a^(n+1) < 1/(1-a) getippt. Weil man ja das nächste Folgeglied nimmt, oder?! (aber damit weiß ich net mehr weiter.... Sad )
algebrafreak
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 18 Jun 2005 - 17:44:07    Titel:

Wie Du sicherlich bemerkt hast, habe ich keine Induktion gemacht. Die Induktion braucht man für den Beweis der Beziehung, die Du eben angefragt hast. Siehe z.B.

http://www.mathe.braunling.de/Arigeore.htm

Der Beweis dort ist nicht induktiv, aber der ist leicht zusammenzubasteln (im Gegensatz zu dieser Aufgabe, da hier die Rechte Seite nicht von n abhängt!).
6-pack-drake
Newbie
Benutzer-Profile anzeigen
Newbie


Anmeldungsdatum: 18.06.2005
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 19 Jun 2005 - 11:21:12    Titel:

Hat sich leider doch noch nicht ganz geklärt:

Kann man bei der Aufgabe keine Induktion anwenden? (wegen der rechten seite, die nicht von n-abhängt?)

Was ist mit der 2.Aufgabe gemeint? Da fehlt mir ja völlig der durchblick... für nen induktionsansatz oder anfang wär ich schon sehr dankbar!

auf jedenfall erstmal vielen dank@algebrafreak

MFG

PL
algebrafreak
Senior Member
Benutzer-Profile anzeigen
Senior Member


Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 19 Jun 2005 - 11:31:54    Titel:

Was ich damit gemeint habe ist, daß der "Standardansatz" bei der 1) scheitert. Daher muß man, so vermute ich, eine etwas abgeänderte Behauptung beweisen, oder zusätzliche Mittel anwenden. Der "Standardweg" wäre:

sum_(i=0)^0 a^i = a^0 = 1 < 1/(1-a) , denn 0 < 1-a < 1.

I.A.: Behauptung A(n) = sum_(i=0)^n a^i < 1/(1-a) gilt für ein festes n.

I.S.: Zu zeigen ist A(n+1)

A(n+1) = sum_(i=0)^n+1 = a^(n+1) + sum_(i=0)^n a^n

An der Stelle muß man die Induktionsannahme verwenden. Dummerweise liefert das Ersetzen vom rechten Summanden durch 1/(1-a) insgesamt etwas grösseres als 1/(1-a), da a^(n+1) positiv ist. D.h. so einfach geht es nicht.

Ich habe keine Sekunde daran verschwendet rauszufinden, was man da abändern soll, denn es handelt sich hier sowieso um die geometrische Reihe und es ist alles klar.
Beiträge der letzten Zeit anzeigen:   
Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> Beweis - Vollständige Induktion
Neues Thema eröffnen   Neue Antwort erstellen Alle Zeiten sind GMT + 1 Stunde
Seite 1 von 1

 
Gehe zu:  
Du kannst keine Beiträge in dieses Forum schreiben.
Du kannst auf Beiträge in diesem Forum nicht antworten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht bearbeiten.
Du kannst deine Beiträge in diesem Forum nicht löschen.
Du kannst an Umfragen in diesem Forum nicht mitmachen.

Chat :: Nachrichten:: Lexikon :: Bücher :: Impressum