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Integration durch Substitution
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X3nion
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Anmeldungsdatum: 17.03.2011
Beiträge: 18

BeitragVerfasst am: 21 Apr 2011 - 12:48:35    Titel: Integration durch Substitution

Hallo liebe Nutzer!
Ich schreibe dieses Thema nun hier, da das Mathe-Forum aufgrund von Spam temporär gesperrt wurde.
Der Beitrag ist etwas lang, aber wenn ihr mir helfen könnt, würde ich mich sehr freuen! Wink

Meine Frage richtet sich an die Integration durch Substitution.
In meine Mathematikbuch steht z.B. diese Aufgabe mit Lösung, wie man eine Stammfunktion bestimmt:

Vorgehen:
h(x) = (2x) / ((1 + x²)^3)

Man bestimmt nun Int( (2x) / ((1+x²)^3) über das Intervall [a; b] mit beliebigen Zahlen a, b durch eine Substitution.

Substitution: g(x) = 1 + x² ; g'(x) = 2x und f(z) = 1 / (z^3), z = 1 + x²

Umrechnung der Grenzen: Aus a folgt g(a) und aus b folgt g(b).

Durchführung der Integration:

Aus Int( (2x) / ((1+x²)^3) wird Int( (1 / (1 + x²)^3) * 2x dx ) jeweils mit den Grenzen a und b.

Es folgt Int( 1 / (z^3) dz) mit den Grenzen g(a) und g(b). Dies ist dann gleich: [ (-1) / (2z²) ] mit den Grenzen g(a) und g(b).

Rücksubstitution führt dann zu: H(x) = (-1) / (2 * ((1 + x²)²) )


Ich habe das Verfahren soweit recht gut verstanden, und zwar kann man ja nach dem Satz: Int( f(g(x)) * g'(x) dx )
die oben gegebene Funktion in f(g(x)) = 1 / (1 + x²)^3 aufteilen, also in die Verkettung aus f(x) = 1 / x^3 und g(x) = 1 + x².
Multipliziert man die Gleichung noch mit der Ableitung g'(x) = 2x, so erhält man die Gleichung h(x).


Was ist allerdings, wenn ich z.B. diese Funktionen gegeben habe?

i(x) = 2 / ((3x + 2)²) oder k(x) = (4x²) / ((3x^3 + 2)²)

Bei i(x) ist ja f(g(x)) = 1 / ((3x + 2)²) und g'(x) = 3
Somit kommt man ja nicht auf die Gleichung i(x), wenn man die Form i(x) = f(g(x)) * g'(x) nimmt, sondern im Zähler steht ja dann 3.
Auch wenn man f(g(x)) = 2 / ((3x + 2)²) nimmt und g'(x) = 3, kommt man nicht auf die Gleichung, sondern im Zähler steht 6.

Wie leite ich dann diese beiden Funktionen i(x) und k(x) auf?
Dies ist das Einzige, was ich bei Integration nicht verstanden habe. Alle anderen im Buch stehenden Integrationsverfahren (Partialbruchzerlegung, Produktintegration, Trennung der Variablen, Näherungsmethode nach Euler) sind mir ersichtlich!
Im Buch stehen nur 2 Beispiele, eine davon ist eben die h(x) Aufgabe, deren Vorgehen ich oben beschrieben habe. Beide Aufgaben kann man gut in die Form f(g(x)) * g'(x) bringen, weil die Ableitung g'(x) der Funktion g(x) jeweils mit dem Zähler übereinstimmt.
Bei i(x) und k(x) kann man dieses System jedoch nicht mehr anwenden.

Auf Antworten würde ich mich freuen! Wink
Viele Grüße,
Christian

P.S. Ich habe die Funktionen mit h(x), i(x) oder k(x) bezeichnet, damit keine Verwirrung mit der Verkettung f(g(x)) * g'(x) auftritt.
S0S
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Anmeldungsdatum: 17.05.2010
Beiträge: 98

BeitragVerfasst am: 21 Apr 2011 - 19:28:24    Titel:

i(x) = 2 / ((3x + 2)²)

Subst.: u(x) = 3x+2

Ableitung von u(x): (du)/(dx) = 3 => dx=(1/3)du

Gesucht ist das Integral int 2 / ((3x + 2)²) dx:

int 2 / ((3x + 2)²) dx = Substituieren
int 2/u²*(1/3)du =
2/3 * int u^(-2) du = Integrieren
2/3 * -u^(-1) =
-2/3u

Dann rechnest du entweder weiter, indem du die Grenzen a und b substituierst und das Integral von u(a) bis u(b) berechnest oder indem du rücksubstituierst:

-2/3u = -2/(3*(3x+2))

Dann kannst du deine gegebenen Grenzen ganz normal für x einsetzen.

Das war jetzt mal das eine Beispiel. Ich hoffe, ich konnte dir etwas weiterhelfen. Wenn du einen Schritt in der Rechnung nicht verstanden hast, frage einfach noch einmal nach, dann kann ich es auch noch weiter erklären oder das 2. Beispiel auch noch rechnen.
X3nion
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Anmeldungsdatum: 17.03.2011
Beiträge: 18

BeitragVerfasst am: 22 Apr 2011 - 01:58:22    Titel:

Hallo!
Erstmal Danke für die Antwort! Wink

Also: ich verstehe nicht, ob man eine Funktion als f(g(x) * g'(x) schreiben können muss oder nicht.
Im Buch gibt es ja die eine Funktion mit h(x), welche sich ja exakt nach dem Schema als Verkettung schreiben lässt.

Die anderen Funktionen i(x) und k(x) lassen sich ja nicht nach dem Schema schreiben.

Mir ist auch Folgendes nicht so ganz ersichtlich: Beim Vorgehen im Buch hat man einfach zu 1 / (z^3) und aufgeleitet zu -1 / (2 * z²), ohne irgendetwas hinzuzufügen mitzubeachten.

Du hast i(x) substituiert und dann, als du 2 / z² aufgeleitet hast zu -2 / z, dann noch den Faktor 1/3 dazugesetzt.
Meine Frage: Warum fügt man bei einem Beispiel nichts hinzu, beim anderen jedoch 1/3 ?

Und: Du hast eine Variante benutzt mit du / dx, welche ich ebenfalls noch nicht kannte... Wink

Viele Grüße,
Christian
Caio
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Anmeldungsdatum: 19.01.2010
Beiträge: 211

BeitragVerfasst am: 22 Apr 2011 - 08:25:15    Titel:

Hi,
um die Funktion als f(g(x))*g'(x) zu schreiben, ist es in Ordnung den folgenden Trick anzuwenden:

Du weißt, dass g'(x) = 3 als Faktor im Integral stehen muss. Also modellierst du ihn einfach her, indem du vor das Integral 1/3 schreibst und in das Integral die 3, die du benötigst. Insgesamt hast du nur den Faktor 1 anders ausgeschrieben, was dir aber die Substitution g'(x) dx = du ermöglicht.

g(x)= 3x+2 =u
g'(x) = 3
f(u) = 2/u²

1/3 * int( (2/u²) du) = [ 1/3 * (-2/u)] = [-2/3u] -> [ -1/(9x+6)] + C

X3nion hat folgendes geschrieben:

Mir ist auch Folgendes nicht so ganz ersichtlich: Beim Vorgehen im Buch hat man einfach zu 1 / (z^3) und aufgeleitet zu -1 / (2 * z²), ohne irgendetwas hinzuzufügen mitzubeachten.


Nach etwas Übung wirst du diesen Typ Term auch in 2 Sekunden integriert oder abgeleitet haben:

int (1/z³ dz) = int (z^-3 dz) = [-1/2*(z^-2)] =[ -1/(2*z²)]

Du musst nur wissen, dass das Vorzeichen seines Exponenten sich ändert, wenn du einen Ausdruck zwischen Zähler und Nenner bewegst.
X3nion
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Anmeldungsdatum: 17.03.2011
Beiträge: 18

BeitragVerfasst am: 22 Apr 2011 - 13:06:32    Titel:

Und wie würdest du dann k(x) = (4x²) / ((3x^3 + 2)²) substituieren und integrieren bzw. eine Stammfunktion davon finden?
Wenn g(x) = 3x^3 + 2 ist, was ist dann f(g(x)) bzw. wie schreibt man diese Funktion dann als f(g(x)) * g'(x) ?
Caio
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Anmeldungsdatum: 19.01.2010
Beiträge: 211

BeitragVerfasst am: 22 Apr 2011 - 14:56:50    Titel:

X3nion hat folgendes geschrieben:
Und wie würdest du dann k(x) = (4x²) / ((3x^3 + 2)²) substituieren und integrieren bzw. eine Stammfunktion davon finden?
Wenn g(x) = 3x^3 + 2 ist, was ist dann f(g(x)) bzw. wie schreibt man diese Funktion dann als f(g(x)) * g'(x) ?


Selbes Spiel:

g(x) = 3x³+2 = u
g'(x)= 9x² = u'

f(g(x)) = 1/u² * 4x² (Zähler noch nicht substituiert, da wir ihn für g'(x)dx=du brauchen)

Jetzt wollen wir aus dem 4x² irgendwie ein 9x² machen, ohne das Integral zu ändern. Dazu nehmen wir den Faktor 9/4 rein und multiplizieren 4/9 draußen ran. Somit ist unser Term bloß mit 1 multipliziert worden, wir können du = 9x²dx bestimmen und unser Integral lautet:

int(f(g(x)) * g'(x)) = (4/9)*int( 1/u² * 4x² * 9/4 dx ) = (4/9)*int(1/u² du)



Sieht natürlich ohne Latex alles verdammt unübersichtlich aus.
X3nion
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Anmeldungsdatum: 17.03.2011
Beiträge: 18

BeitragVerfasst am: 22 Apr 2011 - 17:33:17    Titel:

Hallo!
Ich glaube jetzt hat es klick gemacht bei mir! Wink

Um es so auszudrücken: Ich muss also die gegebene Funktion in die Form f(g(x)) * g'(x) "quetschen", um die Integrationsformel anzuwenden.. Smile


Wie mache ich es nun aber bei dieser Aufgabe, welche ich bereits erwähnt habe:

h(x) = 2 / ((3x+2)²)


Hier hast du als Substitution f(z) = 2 / z² genommen.
Ginge es auch mit f(z) = 1 / z² als Substitution?

Wenn ja, könntest du das bitte noch einmal vorrechnen? Wink


VlG (=Viele liebe Grüße)
Chriss! Smile
X3nion
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Anmeldungsdatum: 17.03.2011
Beiträge: 18

BeitragVerfasst am: 22 Apr 2011 - 18:21:35    Titel:

Und was wäre, wenn z.B. diese Funktion gegeben wäre:

h(x) = (2x²) / ((1+x²)^3)

Wäre das Vorgehen dann wie folgt?
g(x) = 1+x² ; g'(x) = 2x

f(g(x)) * g'(x) = (1 / ((1+x²)^3)) * (2x)

Also: Int( f(g(x)) * g'(x) = x * Int( (1 / u^3) * 2x² * (1/x) )

Oder macht man das da anders?

VlG Chriss
Caio
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Anmeldungsdatum: 19.01.2010
Beiträge: 211

BeitragVerfasst am: 22 Apr 2011 - 18:35:33    Titel:

X3nion hat folgendes geschrieben:
Hallo!
Ich glaube jetzt hat es klick gemacht bei mir! Wink
Um es so auszudrücken: Ich muss also die gegebene Funktion in die Form f(g(x)) * g'(x) "quetschen", um die Integrationsformel anzuwenden.. Smile
Jop, das ist eigentlich die Vorgehensweise bei dieser Methode. Very Happy

@h(x): SOS hat eine andere Methode der Substitution benutzt. Er hat nicht versucht, den Term auf eine bestimmte Form zu bringen, sondern einfach u substituiert und dann auch dx durch du ersetzt.

du/dx = 3 <=> dx = (1/3)*du


Wenn du h(x) mit der "f(g(x)) * g'(x) dx - Methode" integrieren willst, geht es genau so gut.

Du wählst
z = 3x+2

Jetzt schreibst du statt

2 / ((3x+2)²) dx --> 2 / z² dx

du ersetzt in deinem Gesamtterm einen Teil (hier: 3x+2)l durch einen Buchstaben. Von daher kannst du nicht einfach sagen, dass du 1/z² haben willst, statt 2/z². Das eine ergibt sich aus dem anderen. Willkürlich substituieren tust du nur z:= 3x+2.

Und jetzt willst du, dass deine 2 im Zähler dein z' wird. Hierfür nimmst du 2*(3/2) und links vom Integral (2/3)* int(...)

Natürlich kannst du umformen, wie du willst aber du darfst deinen Term nicht verändern und du musst auf die f(g(x)) * g'(x) dx Form kommen.

Du kannst von mir aus 1/z² schreiben aber dann muss man rechts vom Integral mit 2 multiplizieren, damit du nichts änderst.
Und die 2 muss das g'(x) werden.
X3nion
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Anmeldungsdatum: 17.03.2011
Beiträge: 18

BeitragVerfasst am: 22 Apr 2011 - 18:46:47    Titel:

Ah okay! Wink

Und was ist mit der Funktion, welche ich noch hinzugefügt habe?

Also h(x) = (2x²) / ((1+x²)^3)

Lg Christian

P.S. Die Methode, die SOS benutzt hat, steht im Buch. Ich werde sie mir noch erarbeiten! Smile
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