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2 Aufgaben mit f(x)=...
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Foren-Übersicht -> Mathe-Forum -> 2 Aufgaben mit f(x)=...
 
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KeRo
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Anmeldungsdatum: 19.06.2005
Beiträge: 14

BeitragVerfasst am: 19 Jun 2005 - 11:04:11    Titel: 2 Aufgaben mit f(x)=...

Huhu,

bin neu hier, und bin mir deshalb nicht sicher, ob ich im richtigen Forum gelandet bin.
Jedenfalls sollen wir zu morgen in Mathe zwei Aufgaben machen, die wir dann abgeben müssen, un ich hab überhaupt keine Ahnung wie ich das machen muss, weil ich jetzt ein viertel Jahr nicht in der Schule war (Amerika- Austausch) könnt ihr mir bitte weiter helfen?

Hier die Aufgaben:

1.) Bestimme den Schnittpunkt der Normalen im Wendepunkt von f mit f(x)= 0,5x^3+3x^2 mit der y-Achse.


2.) Bestimme die Anzahl der Wendestellen von f mit f(x)=1/12 x^4 - t+3/2 x^2 in Abhängigkeit von t.

Bei Aufgabe 2: x- Werte stehen immer nach dem Bruch, also nicht unter dem Bruchstrich!

Bitte um eure hilfe! Danke
KTU
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Anmeldungsdatum: 17.01.2005
Beiträge: 188
Wohnort: Cologne

BeitragVerfasst am: 19 Jun 2005 - 11:33:25    Titel:

1.) Ansatz:
1. Wendestelle bestimmen
2. Steigung der Tangente in W
3. Orthogonalsteigung ausrechnen
4. Geradengleichung der Orthogonalen bestimmen und Schnittpunkt ausrechnen.

f(x)= 1/2*x^3+3*x^2
f'(x)= 3/2*x^2+6*x
f''(x)= 3x+6
f'''(x)= 3

Wendestellen: notwendig: f''(x)=0

0= 3x+6
x=-2

hinreichend: f'''(x_w) <> 0

f'''(-2)=3 <> 0 wahr

Ordinate der Wendestelle f(-2)=8

W(-2|8)

Steigung der Tangente in W m=f'(-2)=-6

Daraus ergibt sich die Orthogonalsteigung m=1/6 (zum merken: Orthogonalsteigung ist der "Minuskehrbruch")

um die Geradengleichung auszurechnen W einsetzen:

y=mx+b, wobei m = 1/6 also (inkl. W eingesetzt):

8=-2*1/6+b
b= 25/3

die Geradengleichung der Orthogonalen lautet somit:

y=1/6*x+25/3

Schnittpunkt mit der y-Achse: (0|25/3)
KTU
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Anmeldungsdatum: 17.01.2005
Beiträge: 188
Wohnort: Cologne

BeitragVerfasst am: 19 Jun 2005 - 11:36:43    Titel:

Aufgabe 2 macht keinen Sinn, da beim Ableiten t sofort wegfällt, oder heisst die Funktion:

1/12 x^4- (t+3/2) x^2
KeRo
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Anmeldungsdatum: 19.06.2005
Beiträge: 14

BeitragVerfasst am: 19 Jun 2005 - 12:09:24    Titel:

Sorry, so wie du die Funktion hast ist sie richtig!
Danke schonmal für Aufgabe 1!
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 19 Jun 2005 - 12:28:17    Titel:

f(x)=(1/12) * x^4- (t+3/2) x²
f'(x)=(4/12) * x³ - 2 * (t+3/2) * x = (1/3) * x³ - 2 * (t+3/2) * x
f''(x)= x² - 2 * (t+3/2) = x² - 2*t - 3
f'''(x)= 2*x

Jetzt f''(x)=0

x² - 2*t - 3 = 0 --> x² = 2*t + 3 --> x = +-WURZEL[2t + 3]

Jetzt darf das unter der WURZEL nur gleich Null oder grösser Null sein !!!
Schaut man sich aber gleich noch f'''(x) an,
sieht man, das x = 0 ausscheidet als Lösung,
da als Vorraussetzung für Wendepunkte gilt:

hinreichend: f'''(x) <> 0

Also 2t + 3 > 0 ==> 2t > -3 ==> t > -(3/2)

Jetzt versteh ich aber nicht was mit der Anzahl der Wendepunkte gemeint ist...
KTU
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Anmeldungsdatum: 17.01.2005
Beiträge: 188
Wohnort: Cologne

BeitragVerfasst am: 19 Jun 2005 - 13:25:36    Titel:

für die Wendestellen gilt

x_w = sqrt(2t-3)

also gibt es für D<0 keine reellen Wendestellen. Jetzt kommt man zu folgender Fallunterscheidung.

2t-3>0
t>3/2

also gibt es für kleinere ts keine Wendestellen und für größere schon
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 19 Jun 2005 - 15:20:42    Titel:

Also Erstens:

Wenn man eine quadratische Gleichung mit der Wurzel auflöst, dann gibt das immer x = +- WURZEL(...) und nicht einfach x = WURZEL(...). Das ist schlichtweg falsch !!!

Und Zweitens:

Für mich ist nicht nachvollziehbar wie man von x² - 2*t - 3 = 0 auf x = sqrt(2t-3) kommen kann...

x² - 2t - 3 = 0......| + 3
x² - 2t = 3...........| + 2t
x² = 3 + 2t..........| WURZEL ZIEHEN
x = +-WURZEL( 3 + 2t )
KeRo
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Anmeldungsdatum: 19.06.2005
Beiträge: 14

BeitragVerfasst am: 19 Jun 2005 - 16:57:55    Titel:

Danke erstmal, also zur 2. Aufgabe:

Zitat:
für die Wendestellen gilt

x_w = sqrt(2t-3)

also gibt es für D<0 keine reellen Wendestellen. Jetzt kommt man zu folgender Fallunterscheidung.

2t-3>0
t>3/2

also gibt es für kleinere ts keine Wendestellen und für größere schon


Was bedeutet das "x_w" und das "sqrt"? Und was kommt nur raus?

wild_and_cool ist das jetzt die Lösung?


Zitat:
x² - 2t - 3 = 0......| + 3
x² - 2t = 3...........| + 2t
x² = 3 + 2t..........| WURZEL ZIEHEN
x = +-WURZEL( 3 + 2t )
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 19 Jun 2005 - 17:05:22    Titel:

Also x_w nehm ich mal an soll heissen x-Wert des Wendepunktes...
x_wendepunkt

sqrt ist die Abkürzung für sqareroot, übersetzt Quadratwurzel

Und was kommt nur raus?

Zitat:
f(x)=(1/12) * x^4- (t+3/2) x²
f'(x)=(4/12) * x³ - 2 * (t+3/2) * x = (1/3) * x³ - 2 * (t+3/2) * x
f''(x)= x² - 2 * (t+3/2) = x² - 2*t - 3
f'''(x)= 2*x

Jetzt f''(x)=0

x² - 2*t - 3 = 0 --> x² = 2*t + 3 --> x = +-WURZEL[2t + 3]

Jetzt darf das unter der WURZEL nur gleich Null oder grösser Null sein !!!
Schaut man sich aber gleich noch f'''(x) an,
sieht man, das x = 0 ausscheidet als Lösung,
da als Vorraussetzung für Wendepunkte gilt:

hinreichend: f'''(x) <> 0

Also 2t + 3 > 0 ==> 2t > -3 ==> t > -(3/2)
KTU
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Anmeldungsdatum: 17.01.2005
Beiträge: 188
Wohnort: Cologne

BeitragVerfasst am: 20 Jun 2005 - 15:52:45    Titel:

hab keinen Bock mehr mir die Funktion anzugucken. kann sein, dass ich mir verrechnet hab.

Also

es gilt irgendwie was in der Art: x_w=+/- sqrt(D)
D ist irgendwas mit t.

Jetzt kann ich sagen, wenn D=0 ist, gibt's nur eine Wendestelle.
D >0 dann gibt es zwei Wendestellen
D < 0 keine Wendestelle

So und dann muss man sich eben überlegen für welche ts welcher Fall zutrifft.

@ wild and cool

wenn in D kein t vorkommt, kann man keine fallunterscheidung durchführen, dann gibt's wendestellen oder auch nicht unabhängig von t. wohl war.

sind wir uns jetzt einig?
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