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Hauptideale
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xaggi
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Anmeldungsdatum: 15.03.2004
Beiträge: 1190

BeitragVerfasst am: 19 Jun 2005 - 12:22:36    Titel: Hauptideale

Hallo zusammen,

ich hab eine Abb. phi: Z[t] -> Z/nZ (Z sind die ganzen Zahlen, Z[t] der Polynomring darüber). phi(f) = f(0) + nZ
Gezeigt hab ich dass ker phi = (n, t) also der Kern von phi gleich dem von den Polynomen n und t erzeugten Ideal ist.

Jetzt soll ich Zeigen, dass ker phi, also (n,t) kein hauptideal von Z[t] ist.
Hat jemand nen Tipp für mich?
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 19 Jun 2005 - 14:16:30    Titel:

Streng genommen ist kern phi kein Ideal, denn kern eines Homomorphismus ist syntaktisch eine Menge von Tupeln.

Sei n > 1. Angenommen <n,t> wäre ein Hauptideal in Z[t]. Dann gäbe es ein p in Z[t] mit <p> = <n,t>. Dann wäre (i) : n = p*r mit r in Z[t] und (ii) : t = p*r' mit r' in Z[t]. Aus (i) folgt (iii) : p in Z. Aus (ii) folgt mit (iii), daß p = 1. Das ist ein Widerspruch, denn 1 ist nicht in <n,t>, denn sonst <n,t> = Z[t] wäre. Für den Fall n = 1 ist allerdings <1,t> ein Hauptideal.

Ich hoffe, ich habe da nichts übersehen. War doch irgendwie zu einfach Sad
xaggi
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Anmeldungsdatum: 15.03.2004
Beiträge: 1190

BeitragVerfasst am: 19 Jun 2005 - 16:05:51    Titel:

thx, stimmt, eigentlich ganz einfach. War irgendwie zu doof dazu und habs irgendwie total umständlich versucht.
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