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Differentialgleichungen
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Liliaaa
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Anmeldungsdatum: 22.04.2005
Beiträge: 63

BeitragVerfasst am: 20 Jun 2005 - 13:23:31    Titel: Differentialgleichungen

Hilfe, Hilfe....
wie ich dieses Thema hasse.....

wer kann mir helfen die allg. Lösung der DGL's zu bestimmen.

a) x'(t) + x(t) = x³(t)sint

b) y''(x) - 5y'(x) = 30 x²

c) y''-2y'+2y = f(x)

1. für f(x) = 2x + 5e^xsinx
2. für f(x) = e^x / cosx -pi/2<x<pi/2
3. f(0) = 1 und sei y eine lösung, die y(0) = y'(0) = 0 erfüllt. Berechne y''(0)


Danke
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 20 Jun 2005 - 14:10:11    Titel:

In der ersten Aufgabe ist mit x³(t) die dritte Potenz oder die dritte Ableitung gemeint?

Sonst sieht es aus wie lineare Algebra (Quotientenraum,Faktorraum)
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 20 Jun 2005 - 14:47:31    Titel:

Ich vermute mal x³, also die dritte Potenz, da auch die anderen DGL's nicht vom schwierigsten Fall sind...
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 20 Jun 2005 - 14:52:40    Titel:

Entweder ist f(x) falsch vorgegeben oder die DGL.
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 20 Jun 2005 - 15:26:02    Titel:

Also mal zur 2ten: y''(x) - 5y'(x) = 30 x²

1. Charakteristisches Polynom der homogenen DGL aufstellen:

a² -5a = 0 --> a(a-5) = 0 --> a1=0 und a2=5

Damit bekommt man folgende Lösung:

z = C1 + C2*e^(5x)

Nun wählt man für das Störglied 30*x² den Ansatz mit einfacher Resonanz:

s*(x) =x ( a + bx + cx² ) = ax + bx² + cx³
Das Ganze 2 mal abgeleitet:
s'*(x) = a + 2bx + 3cx²
s''*(x) = 2b + 6cx

Das eingesetzt in die DGL:

2b + 6cx - 5 * ( a + 2bx + 3cx² ) = 30x²
2b + 6cx - 5a - 10bx - 15cx² = 30x²

Jetzt einen Koeffizientenvergleich machen:
-15c = 30 --> c = -2
einsetzen:
2b - 12x - 5a - 10bx + 30x² = 30x²
- 12 - 10b = 0 --> - 12 = 10b --> b = (-6/5)
einsetzen:
2*(-6/5) - 12x - 5a - 10*(-6/5)x + 30x² = 30x²
2*(-6/5) - 5a = 0 --> - 5a = 12/5 --> a = -(12/25)

Wieder zusammensetzen:

s*(x) = ax + bx² + cx³ = -(12/25)x - (6/5)x² -2x³
Damit bekommen wir als spezielle Lösung für das Störglied:

y = -(12/25)x - (6/5)x² -2x³

Die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL ist dann wegen des Superpositionsprinzips:
y = -(12/25)x - (6/5)x² -2x³ + C1 + C2*e^(5x)
Liliaaa
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Anmeldungsdatum: 22.04.2005
Beiträge: 63

BeitragVerfasst am: 21 Jun 2005 - 15:08:55    Titel:

danke schon mal
erscheint mir logisch....wenns mir mal vorgerechnet wird... Smile

wie geh ich denn an die c) ran?

die a) heißt wirklich so wie es da steht
also x³(t)sint also 3. potenz

wäre nett wenn ihr mir nochmal helfen könntet
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 21 Jun 2005 - 16:59:33    Titel:

Also bei Deiner ersten Aufgabe handelt es sich um eine sog. Bernoulli-DGL:

a) x'(t) + x(t) = x³(t)*sin(t)

Dazu benötigt man eine spezielle Substitution:

u' + pu = qu^k..........mit k ungleich 0,1

Diese Form DGL lässt sich mit

y = u^(1-k) und y' = (1-k) * u^(-k) * u'

auf eine lineare DGL der Form

1/(1-k) * y' = -py + q überführen...

In Deinem Fall wäre das:

u' = x'(t)
u = x(t)
p = 1
q = sin(t)
k = 3

Damit dann
y = x(t)^(1-3) = x(t)^(-2)
y' = (-2) * x(t)^(-3) * x'(t)

Alles in 1/(1-k) * y' = -py + q einsetzen:

1/(1-3) * (-2) * x(t)^(-3) * x'(t) = x(t)^(-2) + sin(t)

Zusammenfassen:
x(t)^(-3) * x'(t) = x(t)^(-2) + sin(t)

Jetzt müsste man den homogenen und inhomogenen Teil lösen können...
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 21 Jun 2005 - 19:12:53    Titel:

Die c) ist dann wieder etwas einfacher...

Charakteristisches Polynom:

y'' - 2y' + 2y = 0
a² - 2a + 2 = 0 --> a1/2 = [2+-Wurzel(4-8)]/2
--> a1/2 = [2+-Wurzel(-4)]/2
--> a1/2 = [1+-Wurzel(-1)]
--> a1/2 = [1+-i]

Da ergibt die allgemeine komplexe Lösung:
z = C1 * e^[(1+i)x] + C2 * e^[(1-i)x]

Davon die allgemeine reelle Lösung:
y = K1 * e^(x) * sin(x) + K2 * e^(x) * cos(x)

Jetzt zu den verschiedenen Störgliedern:

1) 2*x + 5*e^(x) * sin(x)

s1(x)=2x hat keine Resonanz, daher s1(x)= a + bx
s'1(x)= b
s''1(x)= 0
Einsetzen:
2b + 2(a + bx) = 2x
2b + 2a + 2bx = 2x
Koeffizientenvergleich:
2bx = 2x --> b=1
2 + 2a = 0 --> a=1

s1(x)= 1 + x

s2(x)=5*e^(x) * sin(x) erzeugt einfache Resonanz, daher s2(x)= a * x * e^[(1+i)x]
s'2(x)= a * e^[(1+i)x] + a * x * (1+i) * e^[(1+i)x]
s''2(x)= 2 * (1+i) * a * e^[(1+i)x] + a * x * (1+i)² * e^[(1+i)x]

Einsetzen:
2*(1+i)*a*e^[(1+i)x]+a*x*(1+i)²*e^[(1+i)x]-2*a*e^[(1+i)x]-2*a*x*(1+i)*e^[(1+i)x]+2*a*x*e^[(1+i)x]=e^[(1+i)x]

Die roten Dinger sollten bei Resonanz jetzt alle rausfallen !!!

2 * (1+i) * a + a * x * (1+i)² - 2 * a - 2 * a * x * (1+i) + 2 * a * x = 1
2a + 2ia - 2a = 1 --> a ( 2 + 2i - 2 ) = 1 --> a ( 2i ) = 1 --> a = 1 / (2i) --> a = (-1/2)i

s2(x)= (-1/2)i * x * e^[(1+i)x]

Jetzt kommt das Superpositionsprinzip:
Jetzt noch Realteil und Imaginärteil auseinanderbasteln:
y(x) = 0 * Re(s2(x)) + 5 * Im(s2(x))
s2(x)= (-1/2)i * x * e^(x) * (cos(x)+i*sin(x))
s2(x)= (-1/2)i * x * e^(x) * cos(x) + (1/2) * x * e^(x) * sin(x)

Damit dann die spezielle komplexe Lösung:
y(x) = (-5/2)i * x * e^(x) * cos(x)

Dann gilt für die allgemeine Lösung:
y = K1 * e^(x) * sin(x) + K2 * e^(x) * cos(x) + x + 1 + (-5/2) * x * e^(x) * cos(x)

Ok das mit dem etwas einfacher war ein Spass !!
Liliaaa
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Anmeldungsdatum: 22.04.2005
Beiträge: 63

BeitragVerfasst am: 21 Jun 2005 - 23:21:31    Titel:

danke danke
du hast mir echt weitergeholfen
Liliaaa
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Anmeldungsdatum: 22.04.2005
Beiträge: 63

BeitragVerfasst am: 21 Jun 2005 - 23:30:30    Titel:

...und gleich krieg ich nochmal so ne aufgabe....

(1): y''+2y'+2y=2+2x-2sinx-2cosx

a) Geben Sie die allg. reelle Lösung yh(x) des zu (1) gehörogen homogenen Problems an. Bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert lim xbis unendlich yh(x)

b) Berechnen Sie mir Hilfe spezieller Ansätze eine Partikulärlösung von (1). Geben Sie diejenige Lösung y(x) an, welche y(0) = y'(0) = 0 erfüllt.

c) Bestimmen Sie den Parameter @ so, dass das Problem:

(2): y''-2y'+2y=2+x-sinx-2cosx, y(0)=0, y(pi)=@

lösbar ist, und geben Sie für diese Werte von @ die Lösungsmenge von (2) an.

was ist das auch für ein sch....

sag mal...kannst du mir ne gute literatur dazu empfehlen?
ggf. mit vielen beispielen incl lösung?

DANKE Wink
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