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Vierseitige Pyramide - Winkel berechenbar?
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Harumpel
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Anmeldungsdatum: 25.06.2006
Beiträge: 28

BeitragVerfasst am: 19 Jun 2011 - 13:21:55    Titel: Vierseitige Pyramide - Winkel berechenbar?

Hi ihr,

ich hab hier folgendes Problem. Gegeben ist eine schiefe vierschenklige Pyramide mit einer quadratischen Grundfläche. Die Längen der 4 Kanten die zur Spitze führen sind gegeben. Gesucht sind die Winkel der Kanten zur Grundfläche. Kann man die überhaupt ausrechnen?

LG,
Theo
Hausmann
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Anmeldungsdatum: 22.08.2009
Beiträge: 2955

BeitragVerfasst am: 19 Jun 2011 - 14:46:59    Titel:

Die 4 Kanten kommen mir zwar etwas überbestimmt vor, egal. Vielleicht erstmal alles vektoriell (A, B, C, D - irgendwas einfaches in der x - y Ebene ) und die Spitze S ausrechnen. Dann Winkel zwischen Geraden und Ebene; da muß es doch Fertiglösungen geben.
isi1
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Anmeldungsdatum: 10.08.2006
Beiträge: 7384
Wohnort: München

BeitragVerfasst am: 19 Jun 2011 - 17:16:31    Titel:

Hausmann hat folgendes geschrieben:
Die 4 Kanten kommen mir zwar etwas überbestimmt vor
Anscheinend hat er nicht die Kantenlänge der Grundfläche, Hausmann, dann braucht er schon 4.

Wenn z.B. die 4 gleich lang sind, reichen sie noch nicht, die Winkel zur Grundfläche zu bestimmen.
dxer
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Anmeldungsdatum: 26.11.2010
Beiträge: 123

BeitragVerfasst am: 19 Jun 2011 - 17:50:42    Titel:

Ich denke nicht dass das Problem eindeutig lösbar ist, solange du die Seitenlänge q der quadratischen Grundfläche nicht kennst.

Legst du die Grundfläche bspw. in die xy-Ebene dann wächst die Pyramide in z-Richtung. Die z-Koordinate der Kantenvektoren (von denen du nur die Längen a,b,c,d kennst) ist dann die Höhe h der Pyramide. Kennst du diese Höhe dann ergeben sich die Winkel zur Grundfläche ganz einfach aus
[; \vartheta_x = arc sin(\frac{h}{x})\ \ \forall x \in \{ a, b, c, d \} ;]

Da du aber nicht mal bei einer regelmäßigen quadr. Pyramide die Höhe nur aus der Kantenänge der Seiten (ohne Kenntnis der Kante der Grundfläche) berechnen kannst, geht das auch nicht bei einer allgemeinen schiefen Pyramide.


Eine andere Art und Weise von dem Problem zu denken wäre:
Du suchst den Schnittpunkt von 4 Kugeln (da du nur die Beträge der Vektoren kennst) deren Mittelpunkte bei (0 0 0), (q 0 0), (0 q 0) und (q q 0) liegen und deren Radien a, b, c und d sind. Dies ist die Spitze und dessen z-Koordinate ist die Höhe. Du kannst diese aber nicht eindeutig bestimmen, da die Lösung immer von q abhängt (wird deutlich wenn du dir vorstellst wie sich schon die maximal 2 Schnittpunkte von 3 Kugeln in z verändern wenn du an q "wackelst")

Gruß dxer
isi1
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Anmeldungsdatum: 10.08.2006
Beiträge: 7384
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BeitragVerfasst am: 19 Jun 2011 - 17:53:50    Titel:

Und wie wärs damit: q bestimmen aus {a,b,c,d}?

Wenn die vier zu symmetrisch sind, ist die Geschichte eben mehrdeutig.
dxer
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Anmeldungsdatum: 26.11.2010
Beiträge: 123

BeitragVerfasst am: 19 Jun 2011 - 19:00:54    Titel:

isi1 hat folgendes geschrieben:
Und wie wärs damit: q bestimmen aus {a,b,c,d}?

Und wie willst du das machen? Mir fällt atm keine analytische Lösung dazu ein.

Gruß dxer
isi1
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Anmeldungsdatum: 10.08.2006
Beiträge: 7384
Wohnort: München

BeitragVerfasst am: 19 Jun 2011 - 20:19:32    Titel:

Aha, der vierte Vektor ist eine Funktion der anderen drei.

Harumpel
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Anmeldungsdatum: 25.06.2006
Beiträge: 28

BeitragVerfasst am: 19 Jun 2011 - 20:20:26    Titel:

Das mit den Kugeln finde ich ist schon ein gutes Beispiel, allerdings glaube ich dass es nur genau zwei Lösungen gibt, bei denen sich diese Kugeln überschneiden, nämlich einmal "oben" und einmal "unten". Insofern müsste es doch irgendwie zu berechnen sein.
isi1
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Anmeldungsdatum: 10.08.2006
Beiträge: 7384
Wohnort: München

BeitragVerfasst am: 19 Jun 2011 - 20:44:05    Titel: Re: Vierseitige Pyramide - Winkel berechenbar?

Harumpel hat folgendes geschrieben:
Die Längen der 4 Kanten die zur Spitze führen sind gegeben.
Sag mal,Theo,

Deine Aufgabenstellung passt nicht. Die vierte Kante liegt fest, wenn man 3 kennt.

Grund: 4 Unbekannte q, (x,y,z), 3 Kanten gegeben.
Und mit 3 Kanten kann man jedes q erfüllen.

Oder stimmt meine Rechnung nicht?

Also bitte nochmals nachprüfen.
Harumpel
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Anmeldungsdatum: 25.06.2006
Beiträge: 28

BeitragVerfasst am: 19 Jun 2011 - 20:49:22    Titel: Re: Vierseitige Pyramide - Winkel berechenbar?

isi1 hat folgendes geschrieben:
Deine Aufgabenstellung passt nicht. Die vierte Kante liegt fest, wenn man 3 kennt.
Verstehe ich nicht. Erst soll die Aufgabe nicht lösbar sein, jetzt sind es plötzlich zu viele Bekannte ?!
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