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Extremwertaufgabe Differentialrechnung
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franzi.89
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Anmeldungsdatum: 23.06.2011
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 23 Jun 2011 - 01:55:32    Titel: Extremwertaufgabe Differentialrechnung

Hallo zusammen,

Ich komme bei folgender Aufgabe einfach nicht weiter und bitte euch um Hilfe. Und zwar unter
http://www.fb6.fh-aachen.de/uploads/media/Aufgabenbeispiele.pdf
die Aufgabe 10.
Kann mir einer von euch sagen, wie man dies Aufgabe ohne Taschenrechner lösen soll?

Würde mich über eine Antwort sehr freuen.
Liebe Grüße
Franzi
Cheater!
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Anmeldungsdatum: 28.10.2007
Beiträge: 5224
Wohnort: Stuttgart

BeitragVerfasst am: 23 Jun 2011 - 02:08:33    Titel:

Die Höhe sei y.

Dann ist die Länge der Leitungen:

L = y + 2*sqrt[2.5² + (8-y)²]

dL/dy = 1 - 2*(8-y)/sqrt[2.5² + (8-y)²] = 0

1 - 2*(8-y)/sqrt[2.5² + (8-y)²] = 0

1 = 2*(8-y)/sqrt[2.5² + (8-y)²]

sqrt[2.5² + (8-y)²] = 2*(8-y)

2.5² + (8-y)² = 4*(8-y)²

2.5² = 3*(8-y)²

2.5 = sqrt[3]*(8-y)

2.5/sqrt[3] = (8-y)

y = 8 - 2.5/sqrt[3]

Smile
franzi.89
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Anmeldungsdatum: 23.06.2011
Beiträge: 4

BeitragVerfasst am: 23 Jun 2011 - 02:21:42    Titel:

Ich danke ihr vielmals Cheater!
Hätte nie gedacht, dass ich so schnell so eine perfekte Lösung bekomme.
dxer
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Anmeldungsdatum: 26.11.2010
Beiträge: 123

BeitragVerfasst am: 23 Jun 2011 - 02:24:01    Titel:

Also du suchst die minimale Gesamtlänge L(x), d.h. die Länge der 3 Linien. Für die Extremstelle (Minimum) setzt du prinzipiell L'(x) = 0 und löst nach x auf.

Dazu kannst du den Punkt P vertikal zw. 0km und 8km verschieben. Du könntest als x also den Abstand zw. P und der horizontalen 5km-Linie (AB) wählen, dann wären (8km - x) die Länge des Stücks unter P. Hinzuaddieren musst du die zwei diagonalen Stücke PA und PB.

Ein möglicher Ansatz mit h = 5km und v = 8km (in Latex):
[; L(x) = (v - x)+2\cdot\sqrt{x^2 + h^2} = 2(x^2+h^2)^{{}^1/_2} - x + 8 \\
L'(x_{min}) = 2x_{min}(x_{min}^2+h^2)^{-{}^1/_2} - 2 = \frac{2x_{min}}{\sqrt{x_{min}^2+h^2}} - 1 = 0 \\
\Leftrightarrow 2x_{min} = \sqrt{x_{min}^2+h^2} \\
\Leftrightarrow x = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} h \stackrel{!}{=} \frac{5\sqrt{3}}{6}km \approx 1.44 km
;]

Gruß dxer

Edit: Ach mist, scheiß latex zu spät :/
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