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Differentialgleichung/Substitution
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Vidaa
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Anmeldungsdatum: 23.06.2011
Beiträge: 2

BeitragVerfasst am: 23 Jun 2011 - 16:55:00    Titel: Differentialgleichung/Substitution

Ich hätte ine Frage bzgl. einer Differentialgleichung:
Hier die Angabe:

Gegeben die DG
x' = -(x + t)2
z.z.: Substitution u = x + t führt auf autonome DG in u
(natürlich sind x und u keine Variablen sondern Funtionen)


aus u=x+t folgt x=u-t, wenn ich das ableite habe ich dann x'=u' (?) wenn ich dann einsetze habe ich dann
(u') = -u² (??)

mit welchem Ansatz könnte ich das lösen? Trennung der Variablen ?
dann hätte ich : du/dt = -u² <=> -du/u² = dt / Integral
dann würde herauskommen 1/u = t ??

stimmt das, oder ist das ganz falsch? Für jegliche Hilfe wäre ich sehr dankbar!!!

Code:
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 23 Jun 2011 - 19:20:32    Titel:

"aus u=x+t folgt x=u-t, wenn ich das ableite habe ich dann x'=u' (?) "

NEIN

wenn x eine Funktion von t ist
und wenn du nun x = u - t nach t ableitest, dann ist doch:

dx/dt = x' = u' - 1

und dies in die DGL x' = - (x + t)^2 eingesetzt ergibt

u' - 1 = - u^2

und nach Trennung der Variablen:

du/(1 - u^2) = dx


jetzt kannst du sicher selbst die richtigen Stammfunktionen notieren

usw, usw..

ok?
Vidaa
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Anmeldungsdatum: 23.06.2011
Beiträge: 2

BeitragVerfasst am: 23 Jun 2011 - 19:39:20    Titel:

Vieleeen Daank!! ich hatte mir das mit dem -1 eh auch überlegt nur war ich mir nicht sicher Smile


du/(1 - u^2) = dt, also ich hab jetzt folgende Zeile, wenn ich das Integral auf beiden Seiten anwende, stehts recht t, ich hab mir eingebildet, dass (1/(1-u²)) die Abbleitung irgendeiner Winkelfunktion ist (area od. arc..)
aber ich ahbe bei den Integrationstabellen nichts gefunden, nur Wolfram Alpha Integrals sagt mir folgendes :

=1/2(log(-u-1)-log(u-1)) Passt das so?
mathefan
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Anmeldungsdatum: 17.12.2005
Beiträge: 8792

BeitragVerfasst am: 23 Jun 2011 - 21:10:43    Titel:

.
ob oder dass das "passt" oder evtl doch nicht "passt" ?
kannst du doch selbst nachprüfen,
indem du das Ergebnis zur Kontrolle wieder ableitest.

und nebenbei:
die richtige Stammfunktion kannst du auch leicht selbst herleiten..
Tipp dazu:
mach zuerst für 1/(1-u^2) die Partialbruchzerlegung..

ok?
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