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Kardinalität gleichmächtiger Mengen
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Schattenlurch
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Anmeldungsdatum: 20.06.2010
Beiträge: 35

BeitragVerfasst am: 28 Jun 2011 - 01:33:04    Titel: Kardinalität gleichmächtiger Mengen

Hallo, ich habe eine Frage und zwar: Haben zwei gleichmächtige Mengen die gleiche Kardinalität? Ich würde sagen ja, aber in meinem Lineare Algebra I-Skript wird Kardinalität für unendliche Mengen garnicht vernünftig definiert.
Würde mich freuen, wenn ihr mir antworten können.
trinkMilch
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Anmeldungsdatum: 19.06.2005
Beiträge: 228

BeitragVerfasst am: 28 Jun 2011 - 21:29:20    Titel:

Hi,
also laut Wikipedia es ist es das selbe...

...ABER NUR für endliche Mengen .p

Und ich weiss auch nicht wie die Anzahl der Elemente in unendlichen Mengen definiert ist.

cu...
cyrix42
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24256

BeitragVerfasst am: 30 Jun 2011 - 15:14:01    Titel:

Hallo!

Ja, man definiert den Begriff der Kardinalität darüber, dass zwei gleichmächtige Mengen die gleiche Kardinalität besitzen.

Wie man sich leicht überlegt, ist die Relation "sind gleichmächtig" eine Äquivalenzrelation auf der Klasse der Mengen, erlegt diese also in Äquivalenzklassen. Insofern ist die Kardinalzahl, welche die Mächtigkeit der Mengen innerhalb einer solchen Äquivalenzklasse gleichmächtiger Mengen angibt, nichts weiter als ein Name für eben diese Äquivalenzklasse.

Zumindest wenn wir uns in ZFC bewegen, d.h. das Auswahlaxiom akzeptieren (und das tun die meisten Mathematiker), liefert uns die Relation "ist mindestens so mächtig wie" eine echte Ordnungsrelation, d.h. eine Ordnung auf den Kardinalzahlen.


Cyrix
Schattenlurch
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Anmeldungsdatum: 20.06.2010
Beiträge: 35

BeitragVerfasst am: 02 Jul 2011 - 01:44:30    Titel:

Ok, vielen Dank.
Es bleibt die Frage, warum man dann noch extra ein Wort erfinden muss, wenn man auch einfach das Wort Mächtigkeit nehmen könnte.
Naja, wie auch immer.
cyrix42
Valued Contributor
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Anmeldungsdatum: 14.08.2006
Beiträge: 24256

BeitragVerfasst am: 02 Jul 2011 - 02:34:46    Titel:

Kardinalzahlen haben auch ohne die zu Grunde liegenden Mengen, deren Mächtigkeit sie bezeichnen, ihre Existenzberechtigung.

Bourbaki z.B. führt die natürlichen Zahlen als die Menge der Kardinalitäten endlicher Mengen ein. Als Repräsentant nimmt man sich dann eben eine Menge der Mächtigkeit der Zahl, über die man eben gerade reden will. Wink


Cyrix
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