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Kontrollpunktberechnung bei quadratischen/kubischen Beziers
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algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
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BeitragVerfasst am: 14 Jul 2005 - 01:48:48    Titel:

Noch eine Anmerkung: Die Koeffizienten des Polynoms, sowie seine Ableitung, sowie die Nullstellen davon müssen pro Kurve nur einmal berechnet werden. Daher ist die Aussage von oben mit "vielen Rechenoperationen" ein wenig zweifelhaft. Sollte es nicht mit dieser Abschätzung gehen, kann man ja das mit der Funktion selbst machen.

D.h. es ergibt sich der folgende einfache Algorithmus:

1) Berechne N(u) und die Nullstellen x_1,...,x_3 (falls existent) seiner ersten Ableitung mit entsprechenden Funktionswerten von N(x_1), ... ,N(x_3). Das sind Kandidaten für Extremwerte.
2) Fange mit a = 0 und b = 1 an.
3) Bestimme S = sup{N(u) | a <= u <= b} (Teilalgorithmus)
4) Falls S >= Schwellwert ist, so mache ab 3) mit
4a) a = a und b =(a + b)/2 und
4b) a = (a+b)/2 und b = b
5) Falls S < Schwellwert, so zeichne eine Gerade von B(a) zu B(b)

Der Teilalgorithmus bestimme sup{N(u) | a <= u <= b}

1) Berechne N(a) und N(b)
2) Bestimme alle x_i mit x_i in [a,b]
2) Bestimme S = max({N(a),N(b)} U {N(x_i) | a <= x_i <= b })
3) Gib S zurück.

Durch die Abschätzung von N hat man natürlich eine Abschätzung von N', wobei dummerweise es dazu kommen kann, dass die letztere nicht ganz realistische Sachen liefert. Das soll die Praxis zeigen. Beispiel:

-x^2 in [-1,1] hat maximum bei 0. Ich schätze -x^2 durch 0. Obwohl die Abschätzung nur einen maximalen absoluten Fehler von 1 hat, zeigt dass die Ableitung (-x^2)' = -2x zu der von (0)' = 0 einen Fehler von 2, was schon ordentlich ist.


Zuletzt bearbeitet von algebrafreak am 14 Jul 2005 - 21:32:24, insgesamt einmal bearbeitet
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
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BeitragVerfasst am: 14 Jul 2005 - 17:04:00    Titel:

p(x) = a u^4 + b u^3 + c u^2 + d u + e
p'(x) = 4au^3+3bu^2+2cu + d

Die Nullstellen ermittelt man mit Hilfe der Cardanischen Formeln. Siehe hier rein

http://www.uni-protokolle.de/foren/viewtopic.php?t=17503

Am Ende vom Thread ist der korrekte Code in 2 Sprachen. Die Nullstellen von p' (davon gibt es höchstens 3) setzt man dann in p(x) ein und bekommt die maximalen Wert laut obigem Algorithmus.

Damit dürfe es gehen. Melde Dich, wenn Du Umsetzungs (oder sonstige) Probleme hast.
sHo
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BeitragVerfasst am: 15 Jul 2005 - 11:14:14    Titel:

Hey das sieht ja fantastisch aus!

Steck grad in ein paar anderen Projekten fest und bin beim ordnen der ganzen Klassen und Bibliotheken um das ganze übersichtlicher und dynamischer zu machen. Werd mich übers Wochenende mal drannsetzen und mir das ganze durchs Großhirn pumpen. Vorallem die solve und reizb muss ich mir ncohmal genauer anschauen genauso wie die cardanische Formel ansich. Ist Neuland für mich, aber du hast mit Andreas Weber schon gut vorgearbeitet - das spaart ne menge Arbeit! Du hast mir den Thread ja schon einmal empfohl - geht im Grunde ja auch annähernd um das Gleiche. Ich werd dich mit meinen Fragen schon noch nerven keine Bange! Wink

Ohne dich wär ich nicht so schnell und weit vorran gekommen! Vielen Dank noch einmal für dein Engagement !!

mfg sHo
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 15 Jul 2005 - 11:38:53    Titel:

Zitat:
Vorallem die solve und reizb muss ich mir ncohmal genauer anschauen genauso wie die cardanische Formel ansich.


Reizeb brauchst Du nicht wirklich. Und die solve-Methode (genauso, wie die Cardanischen Formeln) kannst Du ruhig für den Anfang als eine Black-Box ansehen, die Polynomkoeffizienten reinbekommt und die Liste der Nullstellen zurückliefert.
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
Wohnort: Passau

BeitragVerfasst am: 15 Jul 2005 - 11:58:00    Titel:

Und noch was (und dann ist Schluß): Ich benutze wohl oben extensiv, dass die Koeffitzienten positiv sind. Du solltest einfach den Bereich nach oben einwenig verschieben, dass alle Koordinaten im Bild auch diese Voraussetzung erfüllen.
sHo
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Anmeldungsdatum: 05.06.2005
Beiträge: 28
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BeitragVerfasst am: 15 Jul 2005 - 17:01:18    Titel:

Kann ich, will ich aber nicht! Möcht schon gern verstehen was ich da eigentlich mache. Smile
Dein Ratschlag werd ich beachten danke!

mfg sHo
algebrafreak
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Anmeldungsdatum: 28.10.2004
Beiträge: 4143
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BeitragVerfasst am: 23 Jul 2005 - 23:27:27    Titel:

Wie schaut's denn aus? Melde Dich, falls ich Unfug, oder all zu kompliziert gamacht habe.
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