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einfaches integral ....
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Gast







BeitragVerfasst am: 23 Mai 2004 - 14:51:06    Titel: einfaches integral ....

Hy,
hat mal einer nen Tip wie ich Int( 1/sin(x)) dx integrieren kann??

Vielen Dank im Vorraus
lukex
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Anmeldungsdatum: 23.05.2004
Beiträge: 11

BeitragVerfasst am: 24 Mai 2004 - 19:23:19    Titel:

Nicht so einfach:
Rationale Integranden mit Wurzelfunktionen kann man durch Substitution
der Funktion tan(x/2) in ein, mit elementaren Mitteln lösbares, Integral überführen:
Sub.: tan(x/2)= u

Stellt man sich jetzt ein rechtwinkeliges Dreieck mit der Ankathete 1 und der Gegenkathete u (= tan(x/2)) zum Winkel x/2 vor, so ist die Hypotenuse folglich √(1+u²). (zeichne dir das Dreieck)
Aus den Seitenverhältnissen ergibt sich dann weiters:

sin(x/2)= u/ √(1+u²) und
cos(x/2)= 1/ √(1+u²)

Aus dem Additionstheorem für sin (a+ b) =sina* cosb+ sinb* cosa ergibt sich für sin x, setzt man a= b= x/2:
sinx= 2* sin(x/2)* cos(x/2)= 2* u/ √(1+u²) * 1/ √(1+u²)= 2* u/ (1+ u²)
(Exclamation Man sieht, dass sich durch das Additionstheorem die Wurzel im Nenner aufhebt; das ist, wie man sehen, wird der Grund für die Verwendung des halbierten Winkels x in der Substitution)

Nun ist u'= du/ dx und somit dx= du/ u'= du* 2* cos²(x/2) =
2*du/ (1+ u²)

Aber jetzt ist wirklich die Vorarbeit fürs Integrieren vorbei:
∫ 1/sinx* dx= ∫ (1+u²)/ (2* u) * 2*du/ (1+ u²)=
∫ du/ u= ln│u│+ c= ln│tan(x/2)│+ c

p.s: bei Verständnisschwierigkeiten einfach antworten!

lukex Wink
carstenroll
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Anmeldungsdatum: 23.05.2004
Beiträge: 3

BeitragVerfasst am: 26 Mai 2004 - 17:25:29    Titel:

Hy,
fettes Danke schön ! Ist verstanden. Ich hab nur noch meine schwierigkeiten zu sehne, wann ich so ein Substiutionsverfahren anwenden kann,soll, muss. Gibts da nicht irgend welche Regeln, nach dennen man verfahren kann ?

Gruß
carsten
lukex
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Anmeldungsdatum: 23.05.2004
Beiträge: 11

BeitragVerfasst am: 27 Mai 2004 - 16:26:14    Titel:

Sevas,
Rationale Funktionen kann man mit Patialbruchzerlegung in eine Summe von elementar integrierbaren Brüchen (d.h. Brüche, die sich durch die Umkehr der Differenziationsregel für x^n, n E R; oder der Logarithmusregel int(1/x)* dx= ln betrag(x)+ c integrieren lassen) überführen.
!!! Bei rationalen Funktionen, welche Winkelfunktionen beinhalten, kann man die Patialbruchzerlegung nicht anwenden.
Ist eine Sammfunktion der Funktion nicht herkömmlich zu bestimmen, wie z.B. bei
int(cosx/ sinx*dx)= int(cosx/ sinx* du/ cosx) [sinx= u; dx= du/u']=
int(du/u)= ln (betrag(sinx))+ c
wird sie durch Substitution von u= tan(x/2) integriert.

Hoffe etwas geholfen zu haben,
mfg lukex
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