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Funktionsuntersuchung
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engelchen26.01
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Anmeldungsdatum: 21.06.2009
Beiträge: 246

BeitragVerfasst am: 10 Sep 2011 - 08:47:40    Titel: Funktionsuntersuchung

Hallo,

ich muss eine Aufgabe lösen, in der es um die Funktionsuntersuchung geht. Ich denke, dass ich sie schon gelöst habe, allerdings bin ich mir nicht sicher, ob das, was ich gemacht habe richtig ist.

f(x)=-2x^4+4x^3

Nullstellen: x^3*(-2x+4)=0
N1(0/0) und N2(2/0)

Keine Symmetrie vorhanden.

Extrempunkte: f´(x)=0 setzten.
-8x^3+12x^2=0
x*(-8x^2+12x)=0

lok. Max.(1,5/3,375) kein lok. Min. vorhanden.

Wendepunkte: f´´(x)=0
-24x^2+24x=0

WP1(1/2) und WP2(0/0)

Kann das stimmen? Mein Wendepunkt liegt höher als mein lokales Maximum..............
Morii
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Anmeldungsdatum: 03.06.2010
Beiträge: 260

BeitragVerfasst am: 10 Sep 2011 - 13:49:32    Titel:

also bei mir steht in deinem Post das dein Extremwert 3,375 einnimmt und die Wendepunkte nen Wert von 2 bzw. 0 haben.

Passt also eigentlich alles
engelchen26.01
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Anmeldungsdatum: 21.06.2009
Beiträge: 246

BeitragVerfasst am: 17 Sep 2011 - 19:38:44    Titel:

Ja, stimmt, hatte mich selber nur verguckt.

Allerdings habe ich da doch noch eine Frage. In meiner Aufgabe, war das absolute, also globale Maximum gefragt. Da wir das im letzten Jahr aber leider nicht gemacht haben (nur das lokale), weiß ich leider nicht, wie man dieses errechnet.
Kann mir jm. erklären, wie es sich berechnen lässt?
Dankeschön Very Happy
Thebozz-mismo
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Anmeldungsdatum: 13.08.2006
Beiträge: 561

BeitragVerfasst am: 17 Sep 2011 - 21:49:18    Titel:

Hallo!

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, um die globalen Extrema zu bestimmen.

Also ich würd mir die Funktion anschauen und ne Skizze machen und die errechneten Punkte eintragen.

So, nun soll man schauen, ob ein globales Maximum existiert.

Ich würde mir mal anschauen, was passiert, wenn du für x extrem große Werte einsetzt und wenn du für x extrem große negative Zahlen einsetzt. Es geht daran, dass man schauen soll, wie die funktion sich entwickelt für große Werte.

ich weiß nicht, in wie weit ihr mit Grenzwerten bzw. Limes schon gearbeitet habt. Wenn ja, dann bilde mal lim(x->oo) f(x) und lim(x->-oo) f(x).
engelchen26.01
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Anmeldungsdatum: 21.06.2009
Beiträge: 246

BeitragVerfasst am: 18 Sep 2011 - 09:36:14    Titel:

Also, bezüglich des lim: Das haben wir am Anfang des letzten Jahres gemacht, allerdings nur bei dem Differentenquotienten und auch nicht mit +- unendlich.

Ich habe gerade mal die Werte 11, 14, -11, -14 eingesetzt.
Bei 11: -23.958
Bei -11: -34.606
Bei 14: -65.856
Bei -14: -87.808

Aber was sagen mir diese Werte jetzt? Ich sehe, dass es vergleichbar bei den Negativen immer negativer ist als bei den Positiven. Kann ich dann darauf auf ein Maximum schließen?
Thebozz-mismo
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Anmeldungsdatum: 13.08.2006
Beiträge: 561

BeitragVerfasst am: 18 Sep 2011 - 10:17:44    Titel:

Bei dem globalen Maximum geht es ja darum, um man einen Punkt (x,y) bestimmen kann, wobei die y-koordinate der größte Wert der Funktion ist.

Ich gib dir mal ein Beispiel.
Du hast die Funktion f(x)=x^2, also die Normalparabel. Sie besitzt in (0,0) ein Minimum. Jetzt kann man sich fragen, ob es sich um ein globales Minimum handelt. Ja, es ist ein globales Minimum, weil die Funktion nie mehr in den Wertebereich von 0 bis -oo kommt, weil für große x wird die Funktion immer größer.

Zurück zu deiner Aufgabe:
Du hast die Werte eingesetzt und das sollte dir zeigen, dass die Funktion nicht mehr positiv wird für große Zahlen.
Du hast ja die Funktion gegeben f(x)=-2*x^4+4*x^3. Du musst dir in der Regel den höchsten Exponenten anschauen, in diesem Fall ist das -2*x^4. Dieser Ausdruck wird immer negativ bleiben für alle Zahlen außer 0 und das heißt, dass es sich bei dem Maximum um ein globales Maximum handelt.
Wenn du jetzt nach einem globalen Minimum schauen müsstest(angenommen, es gäbe ein Minimum), dann kannst du sagen, dass kein globales Minimum existiert, weil zum Beispiel für x=-100 der Wert kleiner ist, als das Minimum und darum geht es ja.

ich hoffe, ich konnte dir etwas helfen und wenn du noch Fragen hast, dann frag
engelchen26.01
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Anmeldungsdatum: 21.06.2009
Beiträge: 246

BeitragVerfasst am: 18 Sep 2011 - 12:06:38    Titel:

Also kann man sagen, dass wenn der Exponent gerade (ungerade ist) und der Koeffizient negativ (positiv) ist, es immer ein globales Maximum (Minimum) gibt?
Und gibt es auch beides in einer Funktion? Nicht, oder? Es sei denn, es ist ein Intervall angegeben, dann kann es doch auch beides geben, aber auch nur dann, richtig?

Danke dir schonmal für deine Geduld Very Happy
Thebozz-mismo
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Anmeldungsdatum: 13.08.2006
Beiträge: 561

BeitragVerfasst am: 18 Sep 2011 - 13:51:04    Titel:

Es gibt nicht immer ein Extrema und beachte zudem, dass man sich meistens nur den Ausdruck mit den höchsten Exponenten anschaut.

Wichtig ist, dass du versuchst zu schauen, wie der Graph einer Funktion aussieht und wie sich der Graph für große Werte entwickelt.

Für einfache Funktionen ist das einfach, doch es gibt ja zum Beispiel auch f(x)=3/(x+3)^2 oder f(x)=ln(x) oder f(x)=e^x und dann kannst du bei ner Funktion wie f(x)=-3x^2+e^x nicht so leicht sehen, wie sich diese Funktion entwickelt und dann musst du zum Beispiel auch gucken, welcher Ausdruck schneller wächst.

Wenn ein Intervall vorgegeben ist, kann es natürlich auch ein globales Maximum und Minimum geben, aber oo ist ein Symbol, keine Zahl und kann dementsprechens auch nie Maximum oder Minimum sein.
Schreibknecht
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Anmeldungsdatum: 16.10.2010
Beiträge: 187

BeitragVerfasst am: 18 Sep 2011 - 14:22:54    Titel:

Auf einem abgeschlossenen Intervall hat eine stetige Funktion übrigens immer ein globales Minimum und Maximum. In anderen Fällen braucht das natürlich nicht der Fall zu sein.
engelchen26.01
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Anmeldungsdatum: 21.06.2009
Beiträge: 246

BeitragVerfasst am: 18 Sep 2011 - 15:24:14    Titel:

Ohje, das klingt doch sehr kompliziert. Also gibt es eigentlich keine Pauschalformel für die berechnung globaler Extrema? Ich werde es einfach mal versuchen, es immer am Graphen zu betrachten und dann mit Einsetzen von x Werten dies herauszufinden..............

Vielen Dank für die ausführlichen Antworten
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