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Funktionentheorie: Normale Familien, schlichte Funktionen
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sranthrop
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Anmeldungsdatum: 30.06.2005
Beiträge: 518

BeitragVerfasst am: 28 Sep 2011 - 22:24:43    Titel: Funktionentheorie: Normale Familien, schlichte Funktionen

Hallo zusammen,

im Rahmen einer Seminararbeit muss ich eine Aufgabe lösen, an der ich mir bisher wirklich die Zähne ausgebissen habe. In der Hoffnung hier Unterstützung zu finden poste ich die Aufgabe und meine bisherigen Versuche mal hier.

Die Aufgabe:
Sei D ein Gebiet und G := {f: D -> C | f schlicht} die Menge aller injektiven holomorphen (=schlicht) Funktionen von D nach C. Zeigen Sie:

(a) Diejenigen Funktionen aus G, die nullstellenfrei sind, bilden eine normale Familie
(b) Die Familie der Ableitungen von Funktionen aus G ist normal
(c) Für festes z0 € D und M > 0 ist die Familie der Funktionen f aus G, die |f'(z0)| <= M erfüllen, normal.


Also: Als Tip stand zu (a) dabei, man solle gewisse Zweige der Quadratwurzel betrachten. Wenn ich jetzt also eine Folge (f_n) von Funktionen aus G habe, dann kann ich o.E. annehmen, dass die allesamt die 1 annehmen (würden das nämlich unendlich viele nicht tun, so wäre die dadurch wählbare Teilfolge nach dem Satz von Montel normal). Da die Funktionen alle nullstellenfrei sind gibt es zwei holomorphe Quadratwurzeln. Nimmt nun f_n an der Stelle z_n die 1 an, so setze ich g_n als denjenigen Zweig der Quadratwurzel, für den g_n(z_n) = -1 gilt. Wegen der Injektivität von f_n ist dann g_n nullstellenfrei (wie f_n) und auch 1-stellenfrei. Also bildet g_n eine normale Familie. Und dann müsste ja auch f_n normal sein (nur das will ich noch nicht so recht einsehen. Hab schon versucht den Satz von Marty zu bemühen, aber komme nicht weiter).

Zu (b): Als Tip hab ich, dass die Menge der Ableitungen aus G mit der Menge der Ableitungen der nullstellenfreien Funktionen aus G übereinstimmt. Das verstehe ich aber nicht!
Angenommen, ich würde das verstehen, dann könnte ich ja Teil (a) benutzen und müsste nur noch zeigen, dass dann auch die Ableitungen der nullstellenfreien Funktionen eine normale Familie bildet. Auch das mag ich noch nicht einsehen.
Ein anderer Ansatz: Es genügt ja (hoffe ich =/) zu zeigen, dass die Familie in jedem kompakten Kreis normal ist. Dann sei M_n das Maximum von f_n in diesem Kreis, und die Funktionen g_n = M_n - f_n sind im Inneren dieses Kreises holomorph, schlicht und nullstellenfrei, und bilden daher nach Teil (a) eine normale Familie. Und jetzt kommen wieder die Ableitungen. Wieso sind die dann auch normal?

Zu (c): Da hab ich mich ehrlich gesagt nich nicht ausreichend mit beschäftigt, würde aber spontan (b) benutzen wollen.

So... langer Text ich weiß, aber ich hoffe sehr dass mir jemand hier helfen kann. Langsam nervts mich nämlich nicht weiterzukommen. Es eilt auch nicht, ich wills ja verstehen!

Schonmal lieben Dank an dieser Stelle!!
Mfg sranthrop
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