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Stammfunktion berechnen
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franziska22
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Anmeldungsdatum: 06.11.2004
Beiträge: 52

BeitragVerfasst am: 24 Jun 2005 - 15:56:13    Titel: Stammfunktion berechnen

Gute Tag euch allen!


ich muss eine eigentlich leichte Stammfunktion berechnen. aber irgendwie erscheint mir das zu leicht, oder mache ich es mir zu leicht??

Es soll die Stammfunktion berechnet werden
(ln x)² dx

Die ist doch einfach
(ln x)²=[ln²x²]=1/3*ln²x³

Oder muss man das anders formulieren???

Danke euch!!
Gauss
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Anmeldungsdatum: 20.04.2005
Beiträge: 2063

BeitragVerfasst am: 24 Jun 2005 - 16:02:00    Titel:

Du musst ln(x)² als verkettete Funktion ansehen deshalb ist deine Funktion falsch.

F(X)=x(ln (x))²-2xln(x)+2x
franziska22
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Anmeldungsdatum: 06.11.2004
Beiträge: 52

BeitragVerfasst am: 24 Jun 2005 - 20:01:31    Titel:

Kommst du auf die Stammfunktion direkt? Oder wie bist du drauf gekommen??
Danke dir!!
Amon
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Anmeldungsdatum: 21.06.2005
Beiträge: 27
Wohnort: Leipzig

BeitragVerfasst am: 24 Jun 2005 - 21:06:17    Titel:

Mich würde es auch interessieren. Cool

Ich bin auch gerade bei dem Thema und steige nicht so durch.

(ln(x))²

Kettenregel? Äußere Stammfunktion * innere Stammfunktion Shocked

1/3(ln(x))³ * (xln(x)-x)

So und weiter komme ich auch nicht!

MfG Amon
wild_and_cool
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Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 25 Jun 2005 - 11:39:00    Titel:

Partielle Intgration:

INT[(ln(x))²]dx = INT[ln(x) * ln(x)]dx

u = ln(x) --> u' = 1/x
v' = ln(x) --> v = x*ln(x) - x

INT[ln(x) * ln(x)]dx = ln(x) * (x*ln(x)-x) - INT[ (x*ln(x)-x) / x ]dx

Jetzt kann man im Integral einmal x kürzen, das darf man sogar ohne Einschränkung, da der ln(x) für x = 0 eh nicht definiert ist...

INT[ (1*ln(x)-1) / 1 ]dx = INT[ ln(x)-1 ]dx = INT[ ln(x) ]dx - INT[ 1 ]dx

INT[ ln(x) ]dx - INT[ 1 ]dx = x*ln(x) - x - x

Das ganze zusammenfassen:

INT[(ln(x))²]dx = ln(x) * (x*ln(x)-x) - (x*ln(x) - x - x) = x * ln²(x) - x * ln(x) - x * ln(x) + 2x = x * ln²(x) - 2x * ln(x) + 2x + C
franziska22
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Anmeldungsdatum: 06.11.2004
Beiträge: 52

BeitragVerfasst am: 26 Jun 2005 - 13:39:21    Titel:

Vielen lieben Dank wild_and_cool!!!


Habe jetzt endlich paar Stammfunktionen ausrechnen können.

Bei einer komme ich gar nicht richtig weiter...
Kannst du mir sagen wie man da vorgehen muss?

(1+e^x)/(1-2e^x+e^(2x))

Danke!!
wild_and_cool
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Moderator


Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 26 Jun 2005 - 14:17:15    Titel:

Das ist recht schön, das Integral:

INT[( 1 + e^x ) / ( 1 - 2e^x + e^(2x) )]dx

Der Zähler entspricht fast der Ableitung des Nenners !!!
Man erkennt das sehr schön wenn man substituiert:

e^x = u

(1+u) / (u²-2u+1)

[u²-2u+1]' = 2u - 2 = 2(u-1)

Jetzt gibt es für Integrale solcher Bauart eine einfache Lösung:

INT[ f' / f ]dx = ln|f|...
franziska22
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Anmeldungsdatum: 06.11.2004
Beiträge: 52

BeitragVerfasst am: 26 Jun 2005 - 22:39:15    Titel:

Danke dir!!!!

Du hast geschrieben

INT[ f' / f ]dx

Aber im Zähler steht doch 1+u und (1+u)'=2 oder?

Wie kommt man dann auf

INT[ f' / f ]dx = ln|f|...
wild_and_cool
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Moderator


Anmeldungsdatum: 13.11.2004
Beiträge: 2952

BeitragVerfasst am: 26 Jun 2005 - 23:31:31    Titel:

Du hast geschrieben

INT[ f' / f ]dx

Aber im Zähler steht doch 1+u und (1+u)'=2 oder?
Also wenn ich 1+u nach ableite, dann komme ich auf 1

Wie kommt man dann auf INT[ f' / f ]dx = ln|f|...

Das steht so in jeder Formelsammlung...
franziska22
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Anmeldungsdatum: 06.11.2004
Beiträge: 52

BeitragVerfasst am: 27 Jun 2005 - 00:08:11    Titel:

Hallo,

Wie f'/f definiert ist weiß ich eigentlich.
Aber wenn ich das Integral mit einem Programm berechne, kommt da raus
-2*(1/e^x-1)-ln(e^x-1)+ln(e^x)

Und das kann ich hier nicht nachvollziehen.
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