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Überlagerung von Schwingungen/Wellen OHNE komplexe Zahlen
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Foren-Übersicht -> Physik-Forum -> Überlagerung von Schwingungen/Wellen OHNE komplexe Zahlen
 
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nämlich
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Anmeldungsdatum: 16.08.2011
Beiträge: 9

BeitragVerfasst am: 11 Okt 2011 - 17:52:30    Titel: Überlagerung von Schwingungen/Wellen OHNE komplexe Zahlen

Hey,
ich hätte da mal eine Frage: Stimmt es, dass ich, wenn ich die Überlagerung einer Schwingung bzw. Welle ohne komplexe Zahlen berechnen möchte, auf die Additionstheoreme zurückgreifen muss?

Danke im Voraus


Zuletzt bearbeitet von nämlich am 07 Nov 2011 - 17:53:20, insgesamt einmal bearbeitet
bassiks
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Anmeldungsdatum: 31.07.2007
Beiträge: 612

BeitragVerfasst am: 12 Okt 2011 - 05:54:10    Titel:

Da eine ebene Welle im allgemeinen etwa so eine Form hat: Asin(wt-kx) musst du wohl mit den Additionstheoremen für sin und cos arbeiten...
GvC
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Anmeldungsdatum: 16.02.2009
Beiträge: 3522

BeitragVerfasst am: 12 Okt 2011 - 09:47:09    Titel:

Ich nehme mal an, dass es sich um sinusförmige Größen gleicher Frequenz handeln soll, die addiert werden. Sonst würde die Sache ausgesprochen komplziert. Die beiden Größen seien a und b:

[;a=\hat A\cdot \sin{(\omega t+\varphi_a)};]
[;b=\hat B\cdot \sin{(\omega t+\varphi_b)};]
[;a+b=\hat A\cdot \sin{(\omega t+\varphi_a)}+\hat B\cdot \sin{(\omega t+\varphi_b)};]

Additionstheorem:
[;\sin{(\alpha + \beta)}=\sin{\alpha}\cdot \cos{\beta}+\cos{\alpha}\cdot \sin{\beta};]

[;a+b=\hat A\sin{\omega t}\cdot \cos{\varphi_a}+\hat A\cos{\omega t}\cdot \sin{\varphi_a}+\hat B\sin{\omega t}\cdot \cos{\varphi_b}+\hat B\cos{\omega t}\cdot \sin{\varphi_b};]
[;a+b=(\hat A\cos{\varphi_a+\hat B\cos{\varphi_b})\sin{\omega t}+(\hat A\sin{\varphi_a}+\hat B\sin{\varphi_b})\cos{\omega t};]

Substitutionen:
[;\hat A\cos{\varphi_a+\hat B\cos{\varphi_b}=\hat C\cos{\varphi_c};]
[;\hat A\sin{\varphi_a}+\hat B\sin{\varphi_b}=\hat C\sin{\varphi_c};]

Einsetzen in die Summengleichung:
[;a+b=\hat C\cos{\varphi_c}\cdot \sin{\omega t}+\hat C\sin{\varphi_c}\cdot \cos{\omega t}=\hat C(\cos{\varphi_c}\cdot \sin{\omega t}+sin{\varphi_c}\cdot \cos{\omega t});]

Obiges Additionstheorem "rückwärts" anwenden:
[;a+b=\hat C\sin{(\omega t+\varphi_c)};]

Erkenntnis aus dieser trickreichen Herleitung:
Die Summe zweier sinusförmiger Größen gleicher Frequenz, aber unterschiedlicher Amplitude und Phasenlage ergibt wieder eine sinusförmige Größe derselben Frequenz.

Von der sind jetzt "nur" noch die Amplitude [;\hat C;] und Phasenlage [;\varphi_c;] zu bestimmen. Das tut man mit Hilfe der obigen Substitutionsgleichungen.

Wenn man die durcheinander dividiert, erhält man den Tangens des Phasenwinkels [;\varphi_c;]

[;\tan{\varphi_c}=\frac{\hat A\sin{\varphi_a}+\hat B\sin{\varphi_b}}{\hat A\cos{\varphi_a}+\hat B\cos{\varphi_b}};]

In dieser Bestimmungsgleichung sind auf der rechten Seite ausschließlich die vorgegebenen Größen der beiden zu addierenden Sinusgrößen enthalten.

Die Amplitude [;\hat C;] der Summengröße erhält man durch Quadrieren der Substitutionsgleichungen und anschließendes Addieren:

[;(\hat A\cos{\varphi_a+\hat B\cos{\varphi_b})^2=\hat C^2\cos^2{\varphi_c};]
[;(\hat A\sin{\varphi_a}+\hat B\sin{\varphi_b})^2=\hat C^2\sin^2{\varphi_c};]

[;\hat C^2(sin^2{\varphi_c}+\cos^2{\varphi_c})=\hat A^2\cos^2{\varphi_a}+\hat B^2\cos^2{\varphi_b}+2\hat A\hat B\cos{\varphi_a}\cdot \cos{\varphi_b}+\hat A^2\sin^2{\varphi_a}+\hat B^2\sin^2{\varphi_b}+2\hat A\hat B\sin{\varphi_a}\cdot\sin{\varphi_b};]

Zusammenfassen:
[;\hat C^2=\hat A^2+\hat B^2+2\hat A\hat B(\cos{\varphi_a}\cdot\cos{\varphi_b}+\sin{\varphi_a}\cdot\sin{\varphi_b});]

Auf die Klammer im letzten Term wird das Additionstheorem

[;\sin{\alpha}\cdot \sin{\beta}+\cos{\alpha}\cdot\cos{\beta}=\cos{(\alpha-\beta)};]

angewendet. Das ergibt

[;\hat C^2=\hat A^2+\hat B^2+2\hat A\hat B\cos{\(\varphi_a-\varphi_b)};]

[;\hat C=\sqrt{\hat A^2+\hat B^2+2\hat A\hat B\cos{\(\varphi_a-\varphi_b)}};]

Letzte Anmerkung, um eventuellen Nachfragen zuvorzukommen:
[;\cos{(\alpha-\beta)}=\cos{(\beta-\alpha)};]

Die Reihenfolge der Summanden ist also beliebig.
nämlich
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Anmeldungsdatum: 16.08.2011
Beiträge: 9

BeitragVerfasst am: 12 Okt 2011 - 15:24:17    Titel:

Vielen Dank. Jetzt werd ich mich erstmal durch die vielen Klammern, Schrägstriche und Strichpunkte durcharbeiten Very Happy
GvC
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Anmeldungsdatum: 16.02.2009
Beiträge: 3522

BeitragVerfasst am: 12 Okt 2011 - 15:58:52    Titel:

nämlich hat folgendes geschrieben:
Vielen Dank. Jetzt werd ich mich erstmal durch die vielen Klammern, Schrägstriche und Strichpunkte durcharbeiten Very Happy


Das dürfte schwierig werden. Offensichtlich kannst Du LaTeX nicht lesen. Dazu benötigst Du ein spezielles Add-on. In einem anderen Forum gab es dazu früher eine Anleitung, die auch hier funktionierte. Da dort aber der Interpreter geändert wurde, ist auch die Anleitung weg. Vielleicht kann Dir einer der Moderatoren hier helfen.

EDIT: Ich glaube, ich erinnere mich. Falls Du einen Firefox-Browser benutzt, musst Du nur dieses Add-on herunterladen:

https://addons.mozilla.org/de/firefox/addon/greasemonkey/
nämlich
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Anmeldungsdatum: 16.08.2011
Beiträge: 9

BeitragVerfasst am: 14 Okt 2011 - 16:51:54    Titel:

Das is kein Problem, ich weiß was des ganze Zeug bedeutet(-> Open Office Formel Editor, da is das ja auch so mit "cdot" etc).
Eine Frage hätt ich aber noch:
Hast des, was du hier geschrieben hast, aus irgendnem Buch oder so übernommen, weil ich das dann ja in die Quellenangabe packen müsste. Smile
GvC
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Anmeldungsdatum: 16.02.2009
Beiträge: 3522

BeitragVerfasst am: 15 Okt 2011 - 14:46:55    Titel:

Das ist Allgemeinwissen. Ich hab' das jedenfalls aus keinem Buch. Weshalb auch? Mathematische Umformungen und Herleitungen unterliegen doch keinem Urheberrecht, oder doch? Und hier geht es doch nur um einfachste Mathematik/Trigonometrie.

Im Übrigen brauchst Du diese Herleitung ja nicht jedesmal zu machen, wenn Du zwei sinusförmige Größen überlagern willst. Das macht man ein- für allemal. Dann wendet man die damit ermittelten beiden Formeln einfach nur noch an. Jedem mit einer gewissen physikalischen oder speziell elektrotechnischen Grundausbildung und auch jedem mit einem bisschen Trigonometrieverständnis sind die sowieso bekannt. Ich habe sie Dir hier nur hergeleitet, damit Du nicht erst noch nachfragen musstest, wenn ich Dir nur diese beiden Formeln genannt hätte.

[;\hat C=\sqrt{\hat A^2+\hat B^2+2\hat A\hat B\cos{\(\varphi_a-\varphi_b)}};]

und

[;\tan{\varphi_c}=\frac{\hat A\sin{\varphi_a}+\hat B\sin{\varphi_b}}{\hat A\cos{\varphi_a}+\hat B\cos{\varphi_b}};]
nämlich
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Anmeldungsdatum: 16.08.2011
Beiträge: 9

BeitragVerfasst am: 19 Okt 2011 - 17:51:59    Titel:

Wie umständlich ist eigentlich die Herleitung für die Berechnung der Überlagerung zweier gleichfrequenter Wellen ohne komplexe Zahlen? Das Problem, das ich hier habe, ist, dass ich da ja einen Sinus mit drei Summanden in der Klammer habe ( -> sin(a+b+c) von A(x,t)=Â*sin(kx - omega*t + phi) ) Confused
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